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2. — Sur la representation conforme de domaines 

 'Uours rectilignes. Note de M. Ren6 Thiry. 



Je me propose ici de generaliser la methode de Schwarz permettant de 

 realiser, par un calcul effectif, la representation conforme d'un domaine 

 polygonal simplement connexe sur un demi-plan, et d'etendre cette 

 methode a des domaines doublement connexes, limites par deux polygones 

 rectilignes C et C. 



Soit Z 1'imaginaire representant un point quelconque d'un tel domaine, 

 et v une variable imaginaire dans un second plan. Soit t une quantite ima- 

 ginaire pure telle que - soit positif, considerons la bande du plan (p) 

 comprise entre I'axe reel et la parallele a cet axe a la distance A- 



J'appellerai domaine (V) l'ensemble des points de cette bande, deux 

 points n'etant pas consideres comme distincts si les valeurs correspon- 

 dantes de v ne different que d'un nombre entier reel. Un tel domaine est 

 evidemment doublement connexe (du reste la transformation w — e 2 ' 71 " lui 

 ferait corresponds une couronne circulaire du plan w), 



C'est sur le domaine (V) (on, ce qui revienl au meme, sur le rec- 

 tangle o, r , i -+- -> - dont on ne regarde pas les cotes verticaux comme dis- 

 tincts), que nous effectuerons la representation conforme du domaine du 

 plan Z, les cotes horizontaux L et L' du rectangle (L co'incidant avec l'axe 

 reel) devant correspondre respectivement aux contours C et C 



Nous savons alors d'apres les theoremes d'existence (cf. par exemple 

 Schottky, Journal de Creite, t. 83, 1877, p. 3oo) qu'il exisle une 

 fonclion Z —f(v) permettant d'effectuer la representation conforme d'un 

 domaine sur Tautre, et cela meme de fagon qu'un point de Fun des deux 

 contours C ou C ait un correspondant donne a l'avance sur les droites L 

 ou L'. Cette fonction Z devra, par hypothese, admeltre la periode 

 reelle -f- 1. 



Nous appelterons A,, A,, ..., A',, A',, ... les sommets de G et de C', 

 p n r ->? • ••> ^j <\,, ••• les imaginaires correspondantes du domaine (V), et 

 nous representees par a,-, ..., a,-, ... les angles des polygones CetC, 

 ces angles etant comptes positivement dans Piiitei ieur du domaine. On 

 verifie tres facilement les deux relations 



si C designe le polygene exterieur. 



