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seance da Seminaire de M. Hadamard. Deux surfaces sont projectivement 

 applicable*, au sens de M. G. Fubini, si 1'on peut etablir entre elles une 

 correspondance ponctuelle telle que deux portions infiniment petites cor- 

 respondantes des deux surfaces soient projectivement egales aux infiniment 

 petits pres du troisicnie ordre (si Ton se bornait au second ordre, la notion 

 de deformation projective se reduirait a la notion banalc de deformation 

 de V Analysis situs). M. G. Fubini a demontre que la condition necessaire et 

 suffisante d'applicabilite pour deux surfaces est lapossibilitede transformer 

 une certaine forme differentielle fractionnaire attachee a la premiere surface 

 dans la forme analogue attacbee a la seconde surface. Cette forme diffe- 

 rentielle, qui joue ainsi un role analogue au ds 2 dans la tbeorie de la defor- 

 mation de Gauss, est un invariant projectif, quotient d'une forme cubique 

 par une forme quadratique : celle-ci, egalee a zero, donne les lignesasymp- 

 totiques ; celle-la egalee a zero, donne les lignes de Darboux-Segre. 



Le tbeoreme de M. Fubini, malgre son grand interel, ne fournit qu'une 

 maniere de poser le probleme de la deformation projective. Outre que la 

 forme differentielle dont il est question plus haut. s'evanouit pour les qua- 

 driques et les surfaces developpables, ce theoreme laisse entier le probleme 

 de la recherche des surfaces projectivement applicables sur une surface 

 donnee ; il laisse meme entiere la question prejudicielle de savoir si de 

 telles surfaces existent. 



J'ai applique au probleme de M. G. Fubini les methodes dont je me suis 

 servi (Bull. Soc. math., t. 44, p. 63-99; { - 45 ' P- ^7"i 21 ; L 46, P- 8/ t-i° 5 ) 

 pour etudier la deformation des bypersurfaces dans Tespace euclidien et 

 l'espace conforme. Je demande a l'Academie la permission d'exposer brie- 

 vement les resultats auxquels je suis arrive .Je me bornerai dans cette 

 Communication aux surfaces non reglees. 



Le premier resultat fondamental est que les surfaces non reglees projecti- 

 vement deformables sont des surfaces exceptionnelles. Elles dependent de six 

 fonctions arbitrages d'un argument. Le systeme differentiel qui les definit 

 admet six families de caracteristiques, dont deux families doubles et deux 

 families simples. Les families doubles sont formees des lignes asymptotiques 

 des surfaces integrates. Les deux families simples constituent sur cbaque 

 surface integrate un reseau conjugue, caracterise par une propriete cinenia- 

 tique importanle. hnaginons qifon drplare projrrtUrment la surface mte- 

 grale(S)de maniere que: i° les differents points Md'une courbe(C) de(,S) 



successi vement coincide 



• points <• 



