STANCE DU 2 1 JUIN 1920. l483 



definition s'etend sans peine a un systeme d'equationsauxderiveespartielles, 

 en considerant des derivees prises m fois par rapport a x et n fois par 

 rapport a y. 



Geci pose, considerons l'equation des polynomes dc Legendre 



et son equation de Didon 



Dans celte derniere equation, remplacons^ par ~, puis faisons croilre // 

 indefiniment, nous obtenons a la limite l'equation 



qui est a son tour l'equation de Didon de 



Or, cette equation (E 2 ) est verifiee par 



y^aT*e ' W „ 3 ,(— ,r-), 



ou W est la fonction a une variable de M. Whittaker, qui, comme on sait, 

 est une des fonctions du cylindre parabolique, lorsque son deuxieme indicc 

 est egal a — y« On voit ainsi de quelle nature est la connexion que nous 

 signalions pour le eas d'une variable. 



Dans le domaine a deux variables, considerons alors les polynomes 

 hyperspheriques zonaux V m „(;r, y), etudies par Hermite et Didon, et 

 rattaches par M. Appell au potentieldans l'cspace a quatre dimensions. Ges 

 fonctions jouent precisement le meme role que les polynomes de Legendre. 

 Or, elles satisfont a un systeme (S,) d'equations aux derivees partielles du 

 second ordre, dont le systeme de Didon est 



avec N = m -h n. Remplacant x et y par ' <•! ' • et litis. mt croilre N inde- 

 finiment, nous obtenons a la limite le systeme (dont nous n'ecrivonsqu'une 

 equation) 



