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l'equation (2). On est ainsi amene a considerer, comme fonctions hyperto- 

 ro'idales, des extensions des polynomes X llin d'Hermite, oii les indices, au 

 lieu d'etre entiers, seront egaux chacun a la moitie d'un nombre impair : 

 resultat d'un interct evident, si Ton se souvient que la recherche, dans 

 Tespace a trois dimensions, des fonctions toro'idales, a justement amene a 

 l'introduction de fonctions nouvelles, extensions a indices fractionnaires du 

 polynome P„ de Legendre. Les fonctions hypertoroidales que nous avons 

 obtenues sonl done aux fonctions hyperspheriques exactement ce que les 

 fonctions toro'idales sont aux fonctions spheriques. 



ANALYSE MATHEMATIQUE. — Sur les zeros des integrates d'une chisse d 'equa- 

 tions diffdrentielles. Note de \L Theodore Varopoulos, presentee par 

 M. Hadamard. 



1. Soil une fonction a =/(-) multiforme definie par une equation de la 

 forme 



A (z) -+-A,( S )« + A 2 (c)„ 2 +-. . .+ A^zO^-'-h «H-+ z o(z,u)=o, 



les A;(i) dd*\giuu\l des fonrtions entieres d'ordre de grandeur c M '" et z>(z, u) 

 une fonction entiere par rapport a c, pour chaque valeur de u, d'ordre 

 inferieur a r M ' "~- (s ctant un nombre positif). Nous avons elabli le theo- 

 reme suivant (*) : 



Vensemble des valeurs (E), (E,), (E,) e.vceptionnelles de a (au sens 

 plusieurs Jois explujue) ne surpasse jamais a -f- 1 . 



Le theoreme, ci-dessus enonce, subsiste encore pour toutes les fonc- 

 tions u = f(z) delinies par une equation de la forme 



g(u) designant une fonction quelconque de u. 



2. Envisageons maintenant une equation diflerenlielle de la forme 



et designons par e M ' le plus grand des ordres de grandeur des fonctions 

 entieres A,-(s). Supposons que <!>[«, «', a", ..., 11 " \ soil un pohnome par 

 rapport a u,~u ', ..., u" . Considerons mn 1 inh'gralc u = u( ' z) de Fequation 

 differentiellc (1), eliminons la variable z entre les equations u = q(z), 

 u' = q'(z) et soit tt' = A,(«) le resultat de celle elimination. En general 



(') Camples rendus, t. 171. 1920, p. 1198. 



