seance du 9 aout 1920. 337 



2. Soit a 3 = nv. 2 -hpx 4- q, alors on a 



(, + « 7 )(, + a'r)(, + ^) = i ) 



et tout revient a trouver toutes les unites de Tanneau [1, a, a 2 ] = 0(a) qui 

 sont binomes, c'est-a-dire n'ont pas de membre contenant a 2 . PuisqueD<o 

 toutes les unites de 0(a) sont des puissances a exposants positifs d'une 

 unite fondamentale o < £ < 1 et de Tunite inverse z~* . En definissant dans 



l'espace les coordonnees !; = - ; r l = /' ; 'C = w, 011 to est un 



nombre de 0(a), considerant la surface des unites (H 2 4- rffl = 1 et le 

 /?/«/* binome \ 4- By] — 'C = o, on reconnait qu'il peut avoir seulement un 

 nombre limite de solutions entre les unites inverses, qu'on peut toutes 

 trouver. Soit t~ m — x 4- y.y la plus grande des solutions inverses, si nous 

 transformons (1, n, — />,</) par la substitution ( J oii^5-yJ = i, 

 nous obtenons une nouvelle equation (1 , n' , — //, </') = 1 dont les solutions 

 sont les solutions de (1, //, — p, q) = 1 divisees par t~ m el qui, par contre, 

 n'a pas de solutions 



3. Considerdns maintenant les puissances d'une unite binome 



(*«H-.)- = M^ + P«4.Q;" = »(»-'> «^, + »<*-;»,»-*> fe-^.H-..,; 



soit 6, un diviseur premier de b plus grand que 3, alors | b] | > 4, [ b\ | > 5, etc. 

 et M = o est impossible. Si |& 4 | = 3, alors c 3 == 1 (mod 3), ceee;i, 

 7« =s o (mod 3) et M = o est impossible. Si | b i | = i>, M = o est egalement 

 impossible. Nous voyons que si /^±i, aucune puissance de Tunite 

 binome by. 4- c ne peut etre binome. 



4. Nous abordons maintenant la methode qui nous conduira au but. 

 Noas appelons cette methode « algorithme de rehaussement » . Soit 

 {ay:- 4- boL 4- c)'" ; = P t a 4- Q,, alors </". - < w > = P,(V - a") et tous les P, 

 sont done divisibles par £ ,~ % = — aa 4- b 4- «« ; si (#, />) = 0, alors les P £ 

 sont divisibles par x = iN(-aa + 6 + fln). Soit a = ax, alors nous 

 passonsdansl'anneau Oia ; toutes les unites de O a sont aussi puissances 

 d'une unite fondamentale z„ = EJ, ou v est diviseur de <p(* s ). Nous avons 

 Ga 2 + k fcf=P,.a + Q/, ou P,±= -• Nous repetons cette conside- 



