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ration et ainsi de suite jusqu'a ce qu'un certain A* = — <z*a*H- b* -+-a*n* 

 ne soit une unite, alors x* = i et l'algorithme s'arrete. 



II y a a distinguer trois cas : I. Si A* ne devient nulle part unite, l'equation 

 (i, n, ~p, q) = i n'a pas de solutions (a part x = i , y = o) ; II. Si A* 

 est ± i, alors a* = o, 6* = ±i et toutes les solutions doivent etre puis- 

 sances de =fc a* h- c* de la forme P,*a* -+- Q,, c'est-a-dire des puissances de 

 k'j. — c* de la forme P,a -+- O, (on k = zu. . . ^ i autrement que quand 

 le cas Use rencontre au debut), ce qui est impossible d'apres 3; iln'yadonc, 

 dans ce cas, qu'une seule solution x = c* ; y = k\ III. — a*a* -h b*-ta*n* 

 est une unite algebrique. Soit par exemple — a a + A + «7« une unite alge- 

 brique, c'est une unite binome, soit £^ ; z^ +l est aussi binome. Si Ton 

 transforme (i, n, — p, q) par e> j+i , on obtient une equation (i, n' , —p, q') 

 qui a les solutions s -1 et e~ [A ~' et dont la racine r\ = £-', c'est-a-dire que 

 y]^" 1 est de la forme Pyj-j-Q. Nous voyons que si -0*^+6*^*4 

 etait une unite algebrique, alors r*^ i = Pyj* -+- Q, ce qui serait encore 

 impossible d'apres 3, puisque a* = Xa, ou £ =£ ± i (autrement que le cas III 

 arrive au debut), et par suite r* = k$ ■+- c' . 



C'est-a-dire que — ay.-±-b-\-an dans notre algorithme ne peut etre 

 unite algebrique que des le debut. Dans ce dernier cas notre equation peut 

 etre ramenee a une equation de la forme (i, n, — p, i) = i dont la racine 

 est e ; nous nommons une telle equation reversible. 



5. Soit t le premier exposant pour lequel A T = \,~-- n'est pas une 

 unite, s'il y a alors une solution telle que m = r, (mod-:), nous transfor- 

 mons au moyen de cette solution et nous obtenons une nouvelle forme, 

 laquelle, a la place des solutions m r i} admet des solutions telles que mszQ 

 (mod-:) et X permet d'amorcer notre algorithme, et alors nous nous trou- 

 vons dans les cas I et II; pour cette raison il n'y a pas plus de it — i solu- 

 tions, f ne simple discussion rnontre qu'en general, pour les equations du 

 type III, ~ = i etles seuls cas ou t> i se reduisen t aux formes (i , o, t , i) ~ = 4 

 et (i, — i, o, i) t = 6 que nous avons examinees en detail. De tout cela nous 

 deduisons le theoreme : Vequation (i, n, — p, q) = i n'a pas plus (Vune 

 ou deux solutions et settlement pour certaines equations il y en a 3 et r \, mais 

 pas plus de 4 solutions (la solution triviale a?==i, y = o non comptee). 

 Ceci nous fait voir que pour le nombre des solutions de I'equation (A, B, 

 C, E) = a- (D < o) est ainsi assignee une limite qui depend du nombre or, 

 mais non des coefficients de la forme; elle est en general Ocr,,ou cr t est le 

 nombre des racines de la congruence A<v* ■+- Bx a ■+■ Cx ■+- Ksso (mod n). 



