SEANCE DU 9 AOUT 1920. 33g 



ANALYSE MATIIE.VIATIQIE. — Sur Irs zeros drs : series dr Dirirhlrl . 

 Note de M. Fritz Carlson, transmise par M. Hadamard. 



Soil (i)/(*) = Za n rr s une serie de Dirichlet convergente pour 7>o. 

 Designons par N({3, w) le nombre des zeros de f(s) dans la bande ^l3; 

 |t|' = co. MM. Bohr et Landau ont montre que (2) — N(- -*- S, to J = o(oj) 

 pour >o. D'autre part, pour tout c>o, on peut indiquer des series (i) 

 pour lesquelles N ( - -+- 0, to J 7^ o(to). Done si Ton veut preciser (1), il faut 

 tenir compte d'autres proprietes def(s). C'est ce qu'ont fait *MM. Bohr et 

 Landau pour Z(s). En s'appuyantsurledeveloppement 1 : £(f) = II( I —/?"*), 

 ils ont obtenu N(- 4- 0, to) = o(to). Je montrerai : 



OM, /w«r S > o /&*?, lim £ = a. 



Le but principal de cette Note est de faire voir que ce theoreme peut etre 

 considere comme une consequence d'un theoreme general sur les series (1), 

 de sorte que ladite approximation et a fortiori celle de MM. Bobret Landau 

 ne reposent pas sur des proprietes speciales de £(*). 



Dans (1) supposons a s ^o. Alors le developpement 1 : /(.?) = lb n n~ s 

 existera et le nombre /• == lim sup log \b„\: log// est fini. Je vais montrer : 



******* H. -P9urf{s) on a 



(3) H(l + k + *,») <»"*»+*-*" 



oil, pour S > o fire, lim s = o. 



Remarque. — Soit g(s) = Sa a w- ; convergente pour a-> o, « un nombre 

 quelconque different de lim «(». L'inegalite (3) peut etre appliquee au 

 nombre de racines de l'equation g(s) -a = o. g restant fixe, le nombre k 

 variera avec a. II peut arriver que notre theoreme ne donnera nen de nou- 

 veau pour certaines valeurs de a, par exemple si la bande envisaged tombe 

 a Tinterieur du demi-plan 011 g reste bornee. 



