3/jO ACADEMIE DES SCIENCES. 



Demonstration. — Posons, z designant un nombre positif, 



a(o=2 »■">-> *<*> = A ">/<*> = ■ +-i c "»-;'' «.<»> =2»-«-- 



A tout £ > o, ■/] > o on peut faire correspondre un £ tel que, pour z < c- 

 et pour cr>% 



|e,|<n«j*; |i,( ff )j<«^i*« pwr «>«, *>*. 



Premier c as : X:4-o<- h-t)- — Posons ( Y) >o arbitrairement petit, )Q<-J : 



Cherchons des limites superieures des integrates 



fyf r -^ dT , £^2^*» £-i-™. 



ou p^n, p > m et, dans la premiere integrale, rc ^ m. En integrant terme 

 a terme, dans la premiere integrale directement, dans les deux dernieres 

 apresunesommation partielle faite a Taide de la fonction sommatrice ^(y), 

 on trouvera la borne superieure C o , - ;2 * +25):A+25 *~ M0r '+ £ . En posant 



g(,)=F( 5 )-i, (/(.)-2^'^"' 

 on en tirera 



Considerons I'inlegrale fg{s)g(i -+-*] + 7 — s)ds prise suivant le rec- 

 tangle qui a pour sommets 7 ± w/, * "*" ^ "*"— ± coi. Un calcul simple donnera 



(4) yV(cr + Ti)-ip*<»«-«»c*4«H...fl + « 



uniformement pour - +^ + c<!7<i + '/].Le nombre o et par suite la fonc- 

 tion F restant fixes, l'inegalite (4) sera valable aussi pour cx>i-f-Y]. En 

 effet, les series etant absolument convergentes, on peut approximer direc- 

 tement 



(5 ) jT|F(. + ri)-.|'*=.'«.X|^- <*=llc.W»») •£(=)**■ 



