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Au premier membre, prenons d'abord les termes qui repondent a c 

 donne; X et Y sont alors des entiers de l'ideal I c , tels : i°que/(X, Y) ; %J e 

 soit positif et premier a 2D; 2 que le point X : Y appartienne au domaine 

 de Picard, #, du groupe g, qui correspond aux automorphies de/. 



Grace a la liberte que laisse le choix des \ e (ideaux associes aux formes 

 reduites de Gauss binaires, positives, proprement primitives, de discrimi- 

 nant P, 011 a des formes equimlentes), on peut supposer DX,l c premier a 2D. 



Les entiers X, Y da corps i\P rendant /\\, V > premier a 2D forment 

 4D 2 $(2l))systemes, 



(3) X = u + 2Dv, Y = - / + 2 ]hP, 



a et y fixes dans chaque systeme, et v, tr entiers quelconques du corps i yP, 

 exactement comme dans le cas des formes positives (lor. cfi.). 



Mais il faut de plus que X, Y soient de l'ideal I,,, c'est-a-dire, si Ton veut, 

 en usant de la liberte que laisse le choix des a, y, que v et w soient eux- 

 memes de I,, (ioc. cit.). Si l e — [q, g -+- i v/F), on a ainsi 



a vec x t , r, , x 2 , y, entiers ordinaires quelconques. 



II faut enfin que/(X, Y) soit > o et que le point X : \ appartienne a <P, 

 cette derniere condition entrainant evidemment la precedente, puisque X S 

 est exterieur a la circonference £' 2 -|- rf 3 — D — o, representative de /. 



Posons 



I etant une quantite positive; le point \ '. r\ doit appartenir a $. 



2. Considerons maintenant la somme, 2', des termes qui, au premier 

 membre de (1), correspondent a des valeurs fixes de c, a et y; la limite 

 de pZ', d'apres les principes de Dirichlet, sera celle de (^T f .) 2 2T : / 2 , on T 

 designe le nombre des termes /(X, Y) au plus egaux a /, les X, Y etant 

 defmispar(3)et(4). 



Dans l'espace a quatre dimensions, les points (complexes) I, vj forment 

 un reseau, de maille infiniment petite (pour t= 00) dans tous les sens, etT, 

 pour / = oc, est le volume V de la region %? de cet espace occupee par les 

 points H, vj, divise par le volume de la maille. 



Ce dernier (he. cit.) est iGD'y'-P : I- ; on a done ainsi 



