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On trouverait la raeme formule dans le cas de l'anneau i\fP 7 

 pour P~3 (mod4). 



4. Interpretation ge'ometriqar du premier membre. — Projetons le 

 domaine <$ sur la sphere E 2 + yf-j-'C 2 — D = o, a partir du pole sud 

 de celle-ci, l'equateur etant le plan £ = o; soient, dans le plan '( = o 

 et sur la sphere, x, y, o et X, Y, Z deux points en correspondance, 

 du el dZ deux elements d'aire (euclidienne) correspondants autour de 

 ces points; on trouve facilement 



Le premier membre de (7) est ainsi l'integrale / / ~ etendue a la pro- 

 jection stereographique a, de <£, sur la sphere, c'est done, puisque dl : Z 2 est 

 V element d^aire nan euclidienne dans le demi-espace de Poincare, l'aire non 

 euclidienne de A. Gette aire, d'ailleurs, si Ton designe par n le nombre des 

 cotes du domaine .ft, par 2co la somme de ses angles euclidiens, est 

 (n — 2)- — £co, et, comme les n et les & sont les memes pour <£ et pour <ft, 

 on arrive a la formule finale 



■nK^lnKSy 



011 et rr> designent respectivement les diviseurs premiers impairs (>0 

 de D et de P. Quant a A, il peut etre regarde comme Voire non euclidienne 

 du domaine $, et a aussi Texpression simple A = (n — 2)1: — 2w, n etant 

 le nombre des cotes de $ et Zco la somme de ses angles euclidiens. 



C'est l'extension, au corps ou a l'anneau *yP, de la formule donnee 

 pour P = i dans la Note de 1918, rappelee ci-dessus au commencement 

 du n° 1 ; elle s'applique egalement a $', domaine du groupe g a Vinteriewr 

 du cercle cr + vf — D=o, car les n et w sont les memes pour f que 

 pour <j?. 



5. Extension du groupe des automorphies def. — Au lieu des substitutions 



qui sont les automorphies de xx — Dyy 9i nous considererons des substi- 

 tutions symboliques, analogues a celles introduites dans nos Notes des 

 Comptes rendus (t. 170, 1920, p. 544 et 625), 



