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Dans ce qui suit, nous aurons a utiliser frequemment le lemme suivanl, 

 dii a M. F. Riesz. 



Lemme \\. - Soient /, (a,), f 2 (x\ . .-., f n (x), gi (x), gi (x), ...,*(*) 

 deux suites de fonctions a carre integrablequi tendent vers des limites/(a?) 

 et g(x) presque partout. Alors on peut faire tendre n vers Tinfini sous le 



signe d 'integration dans l'integration j f n {x)g n {x)dx pourvu qu'il existe 



une fonction h(x) a carre integrable et une constante C tels que, pour toute 

 valeur de n, on ait 



On ne peut pas remplacer la premiere condition par 

 £\f m (x)\>dx<C. 



Introduisons maintenant un noyau K s (a?, v) qui ne differe de K(a?, y) que 

 pour \x - 5v|< 8 et pour | v - \, |< S (v = i, 2, . . . , »). 



Pour ces valeurs on aura par definition K^(x,y) = o. Si Ton remplace 

 dans ( 1 ) K (x, y) par K 6 (a;, y), on obtient une equation qui, pour 



admet une solution ^?X x )-> satisfaisant, comme le montre un calcul facile, 

 a l'inegalite 



Nous en obtenons, au moyen de l'equation integrale, pour f&(&) l'in^" 



w-yr 



I ?*(*)!< I/<*>| + Vs»r K <*>i/ l/<-*)l 2 ^ 



Le second membre etant independant de S, on peut, par un procede 

 connu, trouver une suite o n o a , ..., o v telle que lim 05, (x) = o(x) existe 

 pour x ^ %}u. = 1, 2, ...,«); <j>(a?) est a carre integrable etsatisfait en vertu 

 du lemme \\ a l'equation ( 1). Done : pour toule valeur //on reelle tie A f/yx>»r 

 /o////' fond ion j{ x) a carre inle^ruhie, r equation ( 1 ) ff///wr/ /w solution o(x) 

 a carre integrable. Supposons maintenant que pour une valeur complexe A 



