SEANCE DU 17 AOL T 1920. 385 



Fequation homogene 



? (x)-l*J' K(x,y)o(y)dy = o 



n'ait pas d'autre solution a carre integrable que o(x) = o. 



Designons par T(/) Funique solution, toujours existante, de (1) 

 pour A = A*. En introduisant le noyau K 5 (a?, y), on peut grace au lemme H, 

 par un passage a la limite approprie, demontrer Fegalite 



f k 7<ft)Adt = JT(f t )f t dt, 



j\ et/ 2 etant deux fonctions a carre integrable quelconque. 



Nous disons que A est une valeur caract&ristique de K(x, y) s'il existe une 

 fonction z>(x) a carre integrable non identiquement nulle (fonction fonda- 



mentale) qui satisfait a Fegalite f (a?) - A f K(x,y)o(y)dy — o. 



Demontrons maintenant le theoreme suivant : On bien tonic valeur carac- 

 teristiqur (hi noyau K(.r, y) est reelle, on bien tout nombre non reel est fine 

 valeur caracleristi 'que pour K(x,y). Supposons en effet qu'il y ait une valeur 

 complexenon caracteristique a* et une autre valeur X a laquellecorresponde 

 une fonction fondamentale o(x). On verifie facilement qu'on a 



(.-*)T ( ,,= f . 



. (-t) T( ^ 



de(3) 





-hr.fndi 



-"Tr/Wi 



d ou X = X,ce qui prouve le theoreme. II est commode de grouper les 

 noyaux considered en deux classes I et II, suivant que la premiere ou la 

 seconde partie de l'enonce precedent est applicable. L'exemple suivant nous 

 montre quV/ y a effectivemenl des noyaux qui appartienncnt a la clause //. 

 Definissons, comme il suit, un novau Kf.r, y) 



K, . 



I P o 



