SEANCE DU 2 A OUT 1920. 289 



maines, dumoinspour P>i, sont symetriques par rapport aux axes 0^,Oy]. 

 Pour P = i, la symetrie n'existe que par rapport a Or] et un cote de 9 

 (et de if ) est porte par Oc. 



Voici une remarque qui nous sera utile plus loin : pour que (S) soil ellip- 

 tique, il faut et il suffit, on le voit aisement, que A -+- X soit nul; la periode 

 est alors 2, et, en posant A = li\P, avec / entier reel, les points doubles, £, 

 de (S) sont donnes, compte etant tenu de (2), par 



Si done P > 1 , cr que nous supposerons, sauf avis contrai/r, Z ne peut etre 

 le quotient de deux entiers de z, e'est-a-dire que <p et $' n'auront aucun 

 sommel tUiptiqu& % £, qui soit du type - , avec x, y entiers de z . 



3. Representations restreintes, par/. — Soil m un entier ordinaire positif 

 ''(premier a 2 D ; si I est un ideal de Z , nous dirons que m admet une repre- 

 sentation par/, appartenant a I, quand il existe deux entiers, x, v, de J . tels 



(3 > *-ggs/<*^), cest-a-dire «=/(f.f). 



dans nos notations habituelles. Nous supposerons tou jours que 1 est un 

 ideal de base (q, g + i y /p) i associe a la forme binaire positive (q, g, r), de 

 discriminant qr - f egal a P; la norme de I sera q; les entiers de I seront 

 les qu + (o- + i s /p) r? avec Mj r ent j ers ordinaires, et f(x, v), si .r, v sont 

 de ce type, sera divisible par q. 



La representation (3) serapropre si les entiers de 3, ^\ ^, -^, ^ 

 ne sont divisibles simultanement par aucun entier ordinaire (>i). 



»« l'on a une representation propre, (3), de m par /', appartenant a I, on 

 en ded uit une infinite d'autres en operant sur a-, y une quelconque des 

 automorp/iirs {l) de /; les representations propres, appartenant a I, de m 

 P ar .A, se repartissent done en series, et, si l'on reprend les raisonnements 

 a,l s par nous a propos des formes positives, on constate qu'ils s*appliquent 

 «« nomhre de ces series : on trouve ainsi, pour ce dernier, Je nombre N defini 

 aux Comptes rendus (t. 169, 1919, p. 3i4). 



On peut aussi, au lieu de series, parler de representations proprem^nt 

 dlt es : en vertu meme de Texistence du domaine $, d'une representation 

 P r opre x, y appartenant a I, on deduit, par les automorphies de /, deux 



