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representations analogues distinctes, X, Y et — X, — Y, telles que le 



point y appartienne au domaine £. 



Nous appellerons restreinte toute representation (I;X, Y) pour laquelle 

 le point X : \ appartient a $, et, par ce qui precede, le nombre des repre- 

 sentations propres, restreintes, appartenant a 1, dew par /, est egal a 2N. 



Naturellement, on ne regarde, cOmme faisant partie du domaine 4\ que 

 la moitie des cotes et une partie des sommets, de telle sorte que, dans le 

 domaine ainsi compris, il y ait un et un seul point equivalent, dans g, 

 a un point donne. * 



Si, pour une representation, le point X : Y etait un sommet elliptique i 

 de <2 9 de periode k, il faudrait ne compter la representation, dans 2N, que' 

 pour 1 :/-; mais ce cas singulier ne peut se produire (n° 2), du moins 

 pour P > 1 . 



Cela pose, en continuant a suivre pas a pas les raisonnements faits dans le 

 cas des formes positives, on arrive a la formule fondamentale suivante : 



<« 2^(S'8=-*2y2^-n['H-(S)ij- 



Au second membre, n parcourt les entiers ordinaires premiers a 2D; 

 h est le nombre des reduites de Gauss, proprement primitives, positives, 

 de discriminant P; s est une quantite arbitraire > 2 ; le produit IT s'etend a 

 tous les diviseurs premiers cr impairs (> 1) de 1*. _ 



Au premier membre, I,, L, . . ., \ h designent les ideaux (q, g + *\/P)i 

 de 6, associes aux h reduites de Gauss {<J,g,r) ci-dessus; c prend les 

 valeurs 1, 2, . ,. f A; c etant fixe, X el Y designent torn les couples d'entiers 

 de T, tels : 



i° Que Tender ordinaire /(j-> j-) soit positifet premier a 2D; 



2 Que le point Y appartienne au domaine <$. 



Remarque. — Avec m<o, on trouverait encore la formule (4)? 011 Ton 

 ecrirait |/| a la place de/, et en convenant que/(*, ~) doitetre negatif, 

 premier a 2 1), et que le point y doit appartenir au domaine .»'. 



T>. Cordlaire I. — Le nombre N n'est nul (') que si m a, avec P 7 un ou 



( l ) Complex rendu*, t. W.). 1919, p, 3l4* 



