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Sous quell cs conditions deux classes de representations de r. sur p possedant 

 la m-me image for melle sont-elles identiques ? 



Pour etre a meme de formuler la reponse a cette question (reponse dont 

 la deduction detailiee se trouve dans un Memoire qui paraitra dans un autre 

 Recueil) je conslruis par O un sysleme canonique de rctroseclionsR conforme 

 a la base normale N et divisant k en une region simplement connexe (dont 

 la frontiereg-se con fond avecR, tout en pouvantparcourir certains segments 

 dc R deux fois) et m regions cylindriques, limitees chacune par un bord 

 de r. et le lacet de 11 enveloppant ce bord. Dans le cas ou p est un plan pro- 

 jectif, je cboisis sur p une ligne droite /par O' avec un sens de parcours X, 

 et j'appelle representation normale de r. sur p toute representation par 

 laquelle chaque retrosection de R est transformer soit en O', soit en /, dans 

 ce dernier cas biuniformement et dans le sens de parcours A la premiere fois 

 qu'elle ligure dans g. 



Gela pose, void les rapports des classes de representations de r. sur z avec 

 leu is images formelles : 



A chaque image formelle I correspond une seule classe : 



i° Si la surface simplement connexe superposee a p est ouverte. 



2° Si tc est ouverte. 



3° Si p possedant la connexion du plan projectif et r. etant unilaterale et 

 fermee, au moins une retrosection unilaterale de tt est representee bilatera- 

 lement, tandis que les representations correspondant a I sont impaires. 



A chaque image formelle I correspondent deux classes : 



i° Si p possedant la connexion de la sphere, ~ est unilaterale et fermee, 

 les deux classes sont caracterisees par la parite de leurs representations. 



2° Si p possedant la connexion du plan projectif et r. etant bilaterale et 

 fermee, au moins une retrosection de t: est representee unilateralement, 

 les deux classes sont caracterisees par la parite des degres de leurs repre- 

 sentations normales mesures sur le dedoublement bilateral de p. 



3° Si p possedant la connexion du plan projectif et r. etant unilaterale et 

 fermee, au moins une retrosection unilaterale de t: est representee bilate- 

 ralement, tandis que les representations correspondant a I sontpaires, les 

 deux classes sont caracterisees par la parite des aires de leurs representa- 

 tions normales mesurees sur le dedoublement bilateral dc p. 



A chaque image formelle I correspond une infinite de classes : 



i° Si p possedant la connexion de la sphere, - est bilaterale et fermee, 

 les classes sont caracterisees par le degre de leurs representations. 



