STANCE DU 20 SEPTEMBRE 1920. 



ANALYSE MATHEMATIQUE. — Remarques sur les ensembles de mesure nulle 

 a plusieurs dimensions . Note de M. S. Stoilow. 



Les ensembles de points qui font partie d'un espace a un nombre quel- 

 conque de dimensions presentent certaines proprietes resultant de leur 

 grande variete de structure, dontles analogues, memequand elles existent, 

 sont beaucoup plus difficiles a saisir dans un ensemble lincaire. (Test ce fait 

 qui m'a conduit a Fidee de me servir des ensembles a plusieurs dimensions 

 pour essayer de classer les ensembles lineaires de mesure nulle d'une 

 maniere independante de leur mode de formation ('). Dans cette Note je 

 me propose seulement d'attirer l'attention sur une propriete des ensembles 

 de points situes dans un espace a un nombre quelconque (plus grand que 1) 

 de dimensions et dont la mesure (au sens actuellement adopte pour ce 

 terme, qui est celui de MM. Borel et Lebesgue) est nulle. 



Pour plus de simplicity, je me bornerai aux ensembles situes dans un 

 espace a deux dimensions ; il va de soi que des remarques toutes analogues 

 s'appliquent aux ensembles a un nombre quelconque de dimensions plus 

 grand que 2. 



Soit done E un ensemble de points situes dans un plan et definis par 

 leurs coordonnees cartesiennes x et v. Je supposerai cet ensemble borne et 

 de mesure super ficielle nulle. En general, les ensembles lineaires E* et E y , 

 qui sont les projections de E sur les deux axes de coordonnees (qui ne sont 

 d'ailleurs pas necessairement rectangulaires), ne seront pas de mesure 

 hneaire nulle. Soient done l % et l y leurs mesures exUrieures (au sens 

 de M. Lebesgue). Nous allons faire subir a l'ensemble E une transformation 



■l-!ii, 



in 



par 



'>=/(' 



ou/(a?, y) etcp(a7, y) sont supposees continues, ayant des derivees conti- 

 nues, des deux premiers ordres au moins, et telles que la transformation 

 qu'elles definissent soit biunivoque dans une region limitee du plan conte- 

 nant l'ensemble E. On pourra partager cette region en plusieurs autres 

 telles que dans chacune d'elles les derivees premieres de/(^r, r) et de 9(^,7) 

 gardent le meme signe. 



Gonsiderons, en parliculier, celle de ces regions ou/ x et/ r ' sont posi- 



C 1 ) Comptes rendus, t. 169, 1919, p. 766. 



