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tives, en supposant, pour fixer les idees, que f(x, y) soit telle qu'une 

 pareille region existe. 



Envisageons maintenant une suite de parallelogrammes de cotes paral- 

 lels aux axes, 



et tels que chaque point de E, se trouve dans Tun au moins de ces paralle- 

 logrammes et designons par 



(2) **,«? et f h yj 



les coordonnees des sommets de a h de fagon que 



On aura alors evidemment 



en designant par X., X, et Y', YJ les valeurs des seconds membres de (i) 

 pour les valeurs (2) des variables. 



L'ensemble E, et done E, a fortiori, etant de mesure superficielle nulle, on 

 pourra prendre les a t aussi petits que Ton voudra. On aura done, a la limite, 

 en designant par L^etL^les quantites analogues a/^et/, pourle transforme 

 de E,, 1'inegalite-egalite 



les, signes / designent les integrates de Lebesgue prises le long des 

 ensembles E. r et E v , ou les valeurs superieures de ces integrates dans le cas 

 ou les ensembles E x et E r ne seraient pas mesurables. 



Mais il est facile de voir que cette relation est toujours une egalite. On 

 peut en effet prendre toujours les intervalles X". +f — X; assez petits pour 

 que la somme 



2x; +I ~x;. 



soit aussi voisine que Ton voudra de L P et Ton obtiendrait alors Tinegalite 

 inverse. On a done 



ft**/'**- 



t evidemment pour U y une egalite analogue. 

 Geci est valable dans la region ou f' x et f y sont positives a la fois; on 



