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tout point autre que les points d'affixe ap, a etant un point singulier 

 def(x) et P un point singulier de <p(#). 



On sait que M. Borel (') a montre qu'un tel point a(3 n'est pas toujours 

 point singulier de H[/, ©]. Le point a(3 peut etre regulier en particulier, 

 s'il existe deux autres points singuliers de J (x) et <p(a>), que je designe 

 respectivement par a' et (3', tels que a[J = a' {*', a ^ a', [3 ^ (3\ Je dirai, dans 

 ce dernier cas, que a(3 peut etre obtenu plusieurs fois. La singularite a|3 

 peut disparaitre sans que a|3 soit obtenu plusieurs fois. 



On est done conduit a distinguer deux categories de points singuliers : 

 uu point singulier (J de <p(a?) peut etre tel que Hf/, ^] admette ap comme 

 point singulier, quelle que soit la fonction /(a?), toutes les fois que oc(J ne 

 peut etre obtenu qu'une seule fois. C'est ce qui se produit si P est un pole, 

 comme cela resulte des remarques de M. Borel, relatives au theoreme de 

 M. Hadamard. 11 se peut, au contraire, que la singularite en (3 de <p(#) soit 

 telle que H [/, o] soit reguliere en ap quand on choisit convenable- 

 menty (a?), et cela sans qu'on se trouve dans le cas banal ou ap est obtenu 

 plusieurs fois. 



Je dirai que les points singuliers de la premiere categorie sont des points 

 singuliers principaux. 



Je suppose qu'une fonction 9 (x) possede le point singulier p et que Ton 

 puisse ecrire 



?(*)=;?•(*) + •(*), 



9, {x) etant la partie irreguliere pour x — |3, je veux dire par la que ?(#) 

 ne possede pas d'autre singularite que x — p et que <&(a?) est reguliere en (3. 

 La question de savoir si x — p est singulier principal pour <p(a?) ne depend 

 que de la partie irreguliere cp, (a?) comme on le verra aisement. II est done 

 naturel de supposer que <p(a?) ne possede qu'un point singulier et de cher- 

 cher a quelle condition ce point est principal. 



Je ne signale ici que le criterium suivant : Si la fonction <p(#) n'a qu'un 

 point siagulier p a distance finie, pour que ce point soit principal, il est 

 necessaire et suffisant que la fonction '^(x) = V — ait un rayon de conver- 

 gence different de zero et qu'elle ne possede pas d'autre singularite 

 que -5 a distance finie. 



1 de Taylor {Bull, de la Soc. math, de 



