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Dans le cas M = N = i, cette composition coincide avec la composition 

 definie par M. Hilbert dans son Kapport (') et qui consiste a prendre seule- 

 ment y = ocj3, soit encore a prendre pour C ]e corps defini par tous les 

 nombresdeAetB. Mais les proprietes donnees parM. Hilbert (th. 87 et 88) 

 sont encore vraies, mutatis mutandis, pour le mqde de composition plus 

 generate que je viens de definir : si les discriminants a et b de A et B sont 

 premiers entre euoe, les/)' corps G sont differents, chacun d'eux est efiective- 

 ment de degre — , on en obtient une base des entiers en composantrespec- 

 tivement les entiers de deux bases de A et B, enfin le discriminant c est 



1. On peut alors enoncer le resultat assez simple : tout corps ab&Uen 

 resulte <lc la composition de corps abeliens simples, donl les discriminants sont 

 des puissances de nombrcs premiers differents. 



Je crois encore exact, sans toutefois l'avoir etabli de facon entierement 

 rigoureuse, que chaque corps n'est ainsi obtenu que d'une seule facon. 



3. Au sujet de ces corps abeliens simples, je me contenterai d'indiquer 

 ici qu'ils sont constitues par tous les sous-corps des corps des racines 

 (p h 'f mes de Tunite, p premier. On en deduit assez aisement le degre mp h ~ { , 

 sip est impair (m diviseur quelconque de/> — i), i h ~ s ou 2* -2 si/; = 2; une 

 base des entiers et le discriminant (si h — \, la base estnormale et le discri- 

 minant est p m -\ p impair). Leurs groupes sont cy cliques, sauf pour le corps 

 des racines (o k 'f mci de l'unite, pour lequel le groupe est isomorphe du 

 groupe des nombres (- i)*.5 J , definis module i h . 



4. Pour etudier la decomposition d'un nombre premier q dans un corps 

 abelien K, il suffitd'etudier ce nombre q dans chacun des corps composants 

 de Iv : P n P 2 , . . . sous-corps des corps de racines (p\', pi% . . .)""" ps de l'unite 

 (p { , p 2 , ... nombres premiers differents). On obtient ainsi des caractercs 

 (racines de l'unite) analogues au symbole de Legendre, dans chacun de ces 

 corps, et leur produit donne le caractere du nombre q dans le corps 

 considere. 



11 est alors facile d'en deduirc que si </ se decompose d'une certaine facon 

 dans !<■ corps K. // en est de m< ] me de toi{t nombre premier congru a q suicant 

 le module 



