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x et $ etant au moins egaux a 2, je marque sur C les deux points A' et A'' 

 deiinis par '- = ^-0/ et 2^- — — = ^ to". Je marque sur l'axe des s les points 

 M dc cote m > R + r, M, de cote - m, S de cote - 3m et N de cote infe- 

 rieure a — jm. J'appelle T Tare MM, comprenant Jes deux segments recti- 

 lignes MA' et A'M, et Tare to'< co> o/de C. Soil r„ l'homothetique de T 

 par rapport a S dans le rapport ( ^ J (71 = 1, 2, 3, ...). Soit enfin F Tare de 

 Jordan, somme des arcs F„ et du segment rectiligne SN. V et un segment 

 de droite sont homeomorphes en eux-memes. Si la correspondance pouvait 

 s'etendre, il y aurait une calotte simplement connexe dont la frontiere serait 

 la somme d'un des arcs T n et d'un arc exterieur a la sphere de diametre 

 \1 M . sphere qui contient a son interieur tout Tare T n . II y aurait done 

 aussi une calotte simplement connexe ayant C pour frontiere, ce qui est 

 impossible. 



De meme, un cercle et une courbe de Jordan fermee sans points mul- 

 tiples, dont V est un arc, sont homeomorphes en eux-memes. 



II. A tout ensemble ferme partout discontinu borne de I'espace E n , je 

 peux attacher une infinite denombrable de varietes V fermees, a n — 1 

 dimensions (que j'appelle varietes de definition de 1'ensemble), telles que 

 Tensemble coincide avec 1'ensemble des points qui sont interieu rs a une 

 infinite des varietes V. En outre, ces varietes V, groupees en varietes 

 d'ordres numerates 1, 2, 3, ... ; A, ..., ont les proprieties suivantes : 



a. Quel que soit A, les varietes d'ordre X sont en nombre fini et sont 

 exterieu res les unes aux autres. 



b. Toute variete d'ordre A -+- 1 est interieure a une variete d'ordre A et, 

 a finterieur de chaque variete d'ordre A, il y a au moins une variete 

 d'ordre A + 1 (au moins deux, s'il s'agit d'un ensemble parfait). 



c. Le diametre maximum des varietes d'ordre A tend vers zero quand 

 A augmente indefiniment. 



Ceci resulte de ce que, etant donnes un ensemble ferme discontinu et 

 deux varietes S,S 2 (S 2 interieure a S,), on pent determiner une variete 

 polygonale d'un nombre fini de sommets ne coupant pas 1'ensemble, inte- 

 rieure a S, et ayant S 2 a son interieur. Done, on peut prendre pour 

 varietes V des varietes polygonales dont chacune a un nombre fini de 

 sommets. 



II en resulte que ('): 



(') Cf. De.vioy, Comptes rendus, t. \k9, 1909, p. io',8, et I. 151, 1910, p. J 38. 



