SEANCE DU II OCTOBRE 1920. 6(53 



i° Tout ensemble ferme discontinu borne est silue sur 1111 arc do Jordan 



et, en particulier, sur une ligne polvgonale avanl une inlinile ilenom- 



brable de sommels dont l'ensemble a pour derive I'enscmblc discontinu 



donne. 



2 Deux ensembles pai fails discontinus bornes sont homeomorphes. Si 

 ces deux ensembles sont plan-, on peat etendre \eur correspondance a la 

 totalite de leurs plans au moyen d'une infinite denombrable de correspon- 

 dences homographiques. 



Voici un exemple de deux ensembles parfaits partout discontinu- P et/; 

 de l'espace a trois dimensions qui sont homeomorphes en eux-inemes. Lcs 

 varietes de definition de P sont des 'tores; il y a un seul tore d'ordre t; a 



comme les anneaux d'une cbaine fermee entourant I'axe du tore d'ordre A. 

 Les varietes de definition dep sont des spheres ayant leurs centres en ligne 

 droite;il ya une seule sphere d'ordre r.el a I'inlerieur de cbaque sphere 

 d'ordre A, il y a k spheres d'ordre A -h 1. 



La correspondance entre P etj> ne peut pas s'etendre a leurs voisinages 



Theoreme. — Toute surface simplement connexe - qui a des points de P 

 dans chacune de ses deux regions coupe P. Si I ne ccupait pas P, il y 

 aurait un ordre X tel que I ne couperait aucun des tores d'ordre X et en 

 aurait dans chacune de ses regions. Par reductions successives, on en 

 deduirait deux courbes enlacees dont Tune serail interieure el I'autrc cxte- 

 rieure a une surface simplement connexe, ce qui est impossible. 



Un segment de droite et l'arc de Jordan qui contient P fournissent nn 

 nouvel exemple de deux courbes bomeomorpbes en elles-memes. 



de Jordan) dont la correspondance peut s'etcndre a leurs voisinage- el pas 

 a tout l'espace. Chacun de ces ensembles P, P 3 est la somme de deux 

 ensembles egaux a P. Les deux tores d'ordre 1 de P, sont enlaces; les deux 

 tores d'ordre 1 de P, ne sont pas enlaces. 



Le theoreme enonce ci-dessus a une allure paradoxale. II est equivalent 

 au suivant : P est coupe (l'ensemble des points d'intersection a la puissance 

 du continu) par toute calotte simplement connexe sans points multiples 

 dont la frontiere est une courbc de Jordan exterieure a un des tores de 

 definition de P et cnlacee avec le lieu des centre- des nieridiens de ce lore. 



