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Or, une solulion de celte equalion est le polynorne «„,,„(//, c), ou ^ on 

 a m-h n = v — i, ainsi qu'on le constate a partir des equations verifiees par 

 ce polynorne el indiquees par Didon ('). Rappelons que ce polynorne, cas 

 particulier de la fonclion hypergeometrique F 2 , est defini par le develop- 

 pemenl 



(.-.r 5 - j-') 1 [(.- fl .r-4;)' + ( 8 ' + i»)(.-^- r «)]-'=^ fl " i " l V-('^')- 



Le produit de Laplace en coordonnees hypertoroidales est done 



Ce resultat serail aisement etendu a l'espace a/i + 2 dimensions, si Ton 

 fail le cbangement de variables 



on pourra mellrc le produit de Laplace sous la forme 



v etanl le polynorne generalise de Didon, el l'indice u. — ^ figuranl dans la 

 fonclion d<« Gegenbauer pouvanl cette fois etre fractionnaire. 



Si, en parliculiei', nous faisons n = i , ce qui correspond a l'espace a Irois 

 dimensions, nous devons irouver la forme classique du produit de Laplace 

 en coordonnees toroidales, definies par 



Mais dans ce cas la fonclion V m (u) a une soule variable se reduil, comme 

 on sait, a sin[(m -f- 1) arc cos m|, et, en posant u = cos ?, nous trouvons 



Uioits, etc. (Th««>e ile dor-lorat, Paris. i8<W, |>- <'i • 



