ACADEMIE DES SCIENCES. 



THEORIE Di-3 ensembles. — Sur les ensembles mesurables B. 

 Note (') de M. W. Sierpixski. 



Le but de cette Note est de demontrer Tinvariance topologique des 

 classes des ensembles mesurables B. Plus precisenient, il s'agit de demon- 

 trer (pour une classification convenable des ensembles mesurables B) que 

 toute transformation biunwogue el bicontinue trans forme lout ensemble mesu- 

 rable B de classe a en un ensemble de meme classe (quel que soit a). 



II existe, comme on sait, plusieurs classifications des ensembles mesu- 

 rables B. Nous prendrons ici celle de M. HausdorlT ( 2 ). 



Les ensemble's ouverts (Vest-a-dire ceux qui nc contiennent aucun point 

 de leurs frontieres) dans I'espace euclidien a un nombre quelconque de 

 dimensions constituent la classe i. 



Si a est un nombre ordinal pair (a = 2J3), la classe tx est formee de tous 

 les ensembles qui ne sont pas de classes inferieures a a et qui sont produits 

 d'une infinite denombrable d'ensembles de classes < a. 



Si a est un nombre ordinal impair (a = 2J3 -h i) > i , la classe a est 

 formee de tous les ensembles qui ne sont pas de classes inferieures a a et 

 qui sont sommes d'une infinite denombrable d'ensembles de classes < a. 



L'invariance topologique des ensembles ouverts est demontree par 

 M. Brouwer('). II suftira done de demontrer notre theoreme pour a>i. 



Les ensembles de classe 2 clans notre classification sont connus sous 

 le nom d'ensembles Gg et ont etc etudies sous plusieurs aspects par 

 MM. W. II. Young, HausdoriT et Mazurkiewicz. Ce dernier a demontre 

 que les ensembles homeomo.phes avec les ensembles G 8 sont des en- 

 sembles G3C). (Vest une modification '-I une generalisation convenablesdu 

 raisonnement de M. Mazurkiewicz qui permetlra de demontrer notre 

 theoreme. 



Soit a un nombre ordinaire donne > 1 . II est bien evident qu'on peut 

 obtenir tout ensemble de classe 'JLz en eflectuant, suivant une loi deter- 

 minee ne dependant que de a, une infinite denombrable d'additions ou de 



