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la propriete de <5 a , le point g appartenant a E, appartient a une infinite d'en- 

 sembles P„. II existe done nn indice k tel que ki < i et que g appartient 

 a T k . Or il resulte de la definition de Y k que g est interieur a une sphere I 

 de rayon <A-' dont le centre q est un point de Q. La distance entre q et g 

 sera done << e. Done g est un point d'accumulation de Q. II existe done 

 une suite infinie q n de points de Q convergente vers g. Posons/)„ = '\>{q„)- 

 Je dis que la suite p„ est bornee. En effet, soit k un indice tel que g appar- 

 tient a F A , - une sphere de rayon <£~~', dont g est un point interieur. 

 Pour n suffisamment grand, les points q n (qui convergent vers g) seront 

 done interieurs a 2l, et par suite les points /;„ — ty(q n ) seront contenus dans 

 une sphere S (contenue dans G A ). II en resulte que la suite p n est bornee. 

 On peut done extraire de la suite p n une suite convergente : soit p'„ cette 

 suite et posons/) = \imp n , q' n = o (//„). La suite q'„ sera evidemment extraite 

 de la suite q n et nous aurons lirn q' = g. Je dis que/) est un point de P. 



En effet, soit X' un indice tel que g appartienne a 1\, 1 une sphere 

 dont g est un point interieur, telle que Tensemble '|(Q2) soit contenu dans 

 une sphere S contenue dans G A - (I'existence d'une telle sphere resulte de la 

 definition de T k ). Le point g etant interieur a 2, les points q' n aux indices 

 suffisamment grands appartiendront a S, done a QI, et par suite les points 

 correspondants p'„ a S. Done (S etant ferme) p —\\mp' n sera un point de 

 S, done aussi de G k . 



Le point/) appartient done a G A ., si g appartient a T h \ g etant un point 

 de E = $ a (r n F a , ...) il en resulte que/) estun point de P = <E> a (G,, G 2 , ...). 

 D'apres \\mp' tl =p et lim o (p'„) = lim q' n = g, la fonction o etant continue 

 dans l\ il resulte que g = o {/)) : done g est un point de Q. Nous avons 

 done (iemontre que tout point de E appartient a O. 



Done Q = E. Par consequent (J est un ensemble de classe <a. 



Nous avons ainsi demontre que la classe de rensemble Q n'est pas supe- 

 rieure a celle de P. De meme on pourrait demontrerque la classe de P n'est 

 pas superieure a celle de Q. Done Q est de meme classe que P. Notre 

 theoreme est ainsi demontre. 



