GEOMETRIE INFINITESIMALE. — Sur V appUcabilit e projective des surfaces ( l ). 

 Note ( 2 ) de M. E. Cahtax, presentee par M. E. Goursat. 



J'ai indique dans une precedente Communication lesprincipaux resultats 

 auxquels je suis arrive dansl'etude de la deformation projective des surfaces 

 non reglees. Avant de passer a ce qui concerne les surfaces reglees, j'ai 

 quelques remarques complementaires a ajouter relativement aux surfaces 

 non reglees. 



La forme differentielie fractionnaire de M. Fubini peuttoujours se mettre 



sous la forme — -, ou w, et w 2 designent deux expressions differentielles 



lineaires. Le numerateur et le denominateur de cette expression sont des 

 invariants projectifs absolus de la surface. 



On peut se proposer de chercher toutes les surfaces admettantune forme 

 quadratique 2co,to., donnee a V avarice. Ces surfaces existent toujours et 

 dependent de cinq fonctions arbitraires d'un argument; les caracleristiques 

 du systeme differentiel qui les definit sont, sur chaque surface integrate, 

 les lignes asymplotiques et les lignes conjugates des li gn- s de Ijarbou.r-Segre. 

 Au contraire, le probleme qui consiste a cliercher toutes Les sulfate- ad met- 

 tant une forme cubique co : | + to;; donnee a 1'avance, est en general impossible 

 et, quand il est possible, il revient au fond au probleme de la deformation 

 projective. Enfin, on peut se proposer de chercher toutes les surfaces pour 

 lesquelles Xctptahun di (ferentielle 



des lignes de Darboux-Segre est donnee a Favance. Ces surfaces existent 

 toujours et dependent de cinq fonctions arbitraires d'un argument : les 

 caracteristiques, sur chaque surface integrate, sont les lignes asymplotiques 

 et les lignes de Darhoux-Segre. Une classe particulate remarquable est for- 

 mee des surfaces pour lesquelles Tequation (i) est reductible a la forme 

 d r c? -\-d't\* = o : ce sont les surfaces que M. G. Fubini appelle etsymplotieo- 

 isolherm.es ; cbacune d'elles admet cc 3 transformations, conservant les lignes 

 de Darboux-Segre (et les lignes asymptotiques). 



Ce qui cant, >cn\c les surf n s / hn '!!<-. s> au r • n -/„ tes d> d> '< r- 



