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Si P e=D==i (mod 4), a, . . ., o sont necessairement tons pairs; des lors, 

 avec des notations differentes, on peut dire que (7) est forme par les substi- 

 tutions de coefficients 



(8) I r-^ -^-n/D| 



p t q, r, s etant des entiers ordinaires, lies uniquement par 



(9) /»»+Pg« — D(r«+P*«) = i. 



Quel est maintenant Yindice du sous-groupe principal (y) dans 

 groupe T? D'apres MM. Fricke et Klein (loc. cit., p. 538), ce serait 2*- 

 (k et /ayant la signification indiquee plus haut), si Ton pouvait de 

 la solubilite en nombres entiers x, y, z, t, de chacune des deux equations 

 definies comme suit: on decompose P et D en deux facteurs (entiers > o) 

 d'une maniere quelconque V=p K p 2 , D = d i d,; les deux equations en 

 question sont respectivement 



(10) Pid 1 x % —p t €lty % + p % d i z t -^p i d t t*=z/i t 



(11) p x d x a? — p t d t y* + p i d l z* — p l dit*='2, 



avec la condition que x, y, s, /, dans la premiere, doivent etre de meme 

 parite. Et la solubilite de (10), de meme que celle de (n), doit avoir lieu 

 pour tous les systemes de valeurs possibles desp L et d { . 



II n'y a aucune difficulte pour la solubilite de (10 ) par des x, y, z, t, tons 

 pairs; nous avons en effet demontre, dans une Note precedente ('), que, si 

 <p (x, z) designe une forme quadratique positive, proprement primitive, de 

 discriminant P, la forme quaternaire d { y(x,z) — d 2 o(t,y) peut repre- 

 senter 1, et, en prenant pour la forme p l x 2 -hp 2 z 2 , on a precisement la 

 proposition a etablir. 



Passant maintenant a (n), on remplacera x et z par ax et ya? (a et y 

 entiers indetermines), et il suffira d'etablir la solubilite en .r,y, t, de 



(12) di{p l <x l -^p t y i )x i — p t d t y i — p l dit*f=^. 



Le premier membre de (12) est une forme ternaire indefinie, — #, reci- 

 proque d'une forme analogue, /, dont les invariants £2 et A sont 

 (i3) A = d 2 , G=— piptdtip^+prf). 



Si A et O sont impairs et premiers entre eux, toutes les formes du meme 



(') Comptes rend us, t. 171, 1920, p. 287. 



