SEANCE DU 1 3 SEPTEMBRE 1920. 5li 



et A ('), remarquons que pour cette equation, r t transforme la moitie du 



des arcs des cercles, et inversement a tout quadrilatere dc ce genre corres- 

 pond une equation de la forme (3). Notre probleme consiste a etudier la 

 fonction (2) et le groupe de Tequation (3) au point de vue de leur depen- 

 dance par rapport au paranietre A. En utilisant, avec certaines modifications, 

 la methode classique de Sturm, on peut etablir les theoremes croscillation 

 pour Fequation (3) ( 2 ). Cela nous fournit entre autres la demonstration de 

 l'existence d'une valeur A = A , pour laquelle la fonction (2) sera une fonc- 

 tion fuchsienne avec circonference limite. En etudiant les transformations 

 du quadrilatere K en fonction de A, nous obtenons les resultats suivants. 



II existe deux valeurs A = A, etA , telles que, si > M > A> A ou />„> A> ">_,. 

 la fonction (2) est une fonction kleineenne avec domaine d'existence limite 

 par une courbe non analytiqueL. Si A = A_, ou A = A, , ce domaine sera limite 

 pardescirconferencesen nombre infini. A continuant a croitre au delade a, 

 ou a decroitre au dela de A_,, les prolongements des deux cotes opposes du 

 quadrilatere K se couperont sous un anglecp. On peut demontrer que 9 est une 

 fonction monotone de A. Admettons, en effet, qu'a deux valeurs differentes 

 A> A, ou A < A_, corresponde une meme valeur de o. Les prolongements 

 des cotes des deux quadrilateres correspondants forment deux triangles 

 aux angles o, o et 9. Utilisant la formule r lt = ^ ^ \ , l'un de ces triangles 



sorte correspondront deux fonctions (2). En eliminant a~, nous obtenons 

 une fonction r ll = 'l(r k ). En formant fali;orithme (J/,(yj)= '^[^(^l)]' 

 y : .( yj) = '-H'^a (?])]» on peut demontrer que tf/(yj) = yj d'ou suit la variation 

 monotone de 5. Soient A = a "/et A a" les valeurs auxquelles correspond 

 ?= -(n— r, 2, ...). Si a = X'.' 1 , ou A = A t ', la fonction (2) sera une 

 fonction fuchsienne sans circonference limite. Si a = "k'"\ ou X = a," 0>i), 

 la fonction (2) sera kleineenne, son groupe contenant des substitutions 

 elliptiques de la periode n. Les cas mentionnes epuisent tous les cas d'uni- 

 formite dela fonction (2). 



Passons maintenant a Fetude du groupe de l'equation (3). Examinons 

 l'intervalle X_, < A < X, : en prolongeant les cotes de K, nous obtiendrons 



