STANCE DU 26 OCTOBRE 1920. 779 



1 F , F n F 2 , ... sont les fond ions hypergeometriques superieures | ' ) 





J'ai d'abord trouve celle solulion en dernonlranl que s„ s 3 , .. ., s B , consi- 

 derees comme des fonclions de '£, sonl des integrates particulieres d'une 

 equation diilerenlielle hvpergeometrique (') d'ordre n — 1. lei nous allons 

 Irouver ces racines plus direclemenl. Posons z = v g n ~\ 3 = lg"~'\ l'equa- 

 tion Irinome devient alors de la forme v n — v-hi Pour |/| suflisammenl 

 petit nous avons une racine donnee par 



les u. el ant des const antes. Nous pouvons aussi trouver celle racine a Pa 

 de la serie de Lagrange 



F(0) = F(/).+ 2 [/(r) F(y)]+^^[/(,)»F'(7)] + ... 



qui donne l'expression F(0) d'une racine de l'equation 9 =y-j- %f( 0). 

 Si nous posons 7 = 1, a =, - /, /(8) = O' 7 ^ 1 , F(6) = 0"~~ = e, n< 

 obtenons l'equation trinome p" = r -t- /. D'autre part. 



En comparant avec le coefficient de /' dans l'expression plus haute de v, 

 nous obtenons a,.. D'autre part, l'equation v" — v 4- I reste invariante quand 

 on remplace / par —. et c par ~ = r ^ 7 « Les /? — 1 developpements 



sont done aussi des racines de v" = 9 -hi. Les expressions 



