III.'l ACADEMIE DES SCIENCES. 



faces sont simplement connexes. Celles-ci, de meme que les aretes sont 

 supposees orientees d'apres le procede de ces savants et les equations intro- 

 duites par eux, en correspondance avec les Tableaux de Poincare ('), 

 servent ici de base aux conclusions. 



Appelons systeme d'equations A, le systeme lineairement independant 

 d'equations lineaires et homogenes que Ton peut faire correspondre a un 

 polyedre II admettant a sommets et [6 aretes orientees. Ce systeme A ren- 

 fernie a — i equations portant sur 3 inconnues. Les coefficients sont egaux 

 a o, -4- i et — i. 



A ce systeme A, faisons correspondre un Tableau B relatif a un systeme 

 complet de solutions enlieres. Chaque ligne de celui-ci correspond a une 

 solution; il y en a [i — a -+- i. En designant ces difl'erentes lignes, les unes 

 par C/, les autres par T y , nous pouvons, si C represente une solution entiere 

 quelconque, caracteriser cette solution par une relation, dont le sens est 

 facile a saisir : 



ou a 4- p = 3 — a -+- 1. Les coeflicients k, et /, sont determines d'une 

 maniere unique des que C est donnee. Ce sont des quantises en general 

 enlieres, fraclionnaires le cas echeant. 



D'un autre edte, a toute solution entiere C correspond sur II un circuit 

 ferme ou plus precisement un ensemble de circuits tVrmes. Cbacun de ces 

 ensembles est determine d'une maniere uniq ie de> que G est donnee, si, 

 toutefois, on fait abstraction des contours nuls, autrement dif, des contours 

 correspondant a la solution identiquemenl nuile du s\steme A. 



La relation (i), par consequent, represents non seulemenl une relation 

 entre des solutions entieresdu systeme A, mais aussi une relation entre les 



tes des circuits fermes de II. 



Cela etant, en supposant que II possede y faces, di>iinguons les deux cas 

 susceplibles de se presenter. 



i° II est bilateral. — Soit T le tableau de y lignes et (3 colonnes que 

 Poincare fait correspondre aux aretes et aux face-. < liacune des lignes deT 

 est solution entiere du systeme V. On peut, a cause de cela. former un 

 Tableau B en prenant pour ses /. premiere:* h-m s < :,. *\ - i des lignes de I\ 

 et. pour >es z dcrnieres lignes T,-. c = (3 a - -; - 2 solutions enlieres 



