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demande la permission de revenir sur ce sujet, pour exprimer les intégrales 
des équations différentielles considérées, sous une forme simple qui les 
rattache aux fonctions hypergéométriques et aux fonctions sphériques de 
première et de seconde espèce. On doit à Didon l’intéressante remarque 
que, si l’on considère les deux équations simultanées 
D Cr Lane taie yig o 
l) dx? 0x dy 02 dy ne 
(1— ASC HER SE a F0 
y dy? 2Y Jz dy 1 dy dx 1 ; 
dépendant d’un seul entier positif q = m + n, les équations simultanées 
analogues que vérifie le polynome d'Hermite s’obtiennent en posant 
te d1+2 P 
s U = amay 
Si donc on connaît quatre solutions linéairement indépendantes P,, P», 
P., P, des équations (1), on en déduit, par l'opération (2), les quatre solu- 
tions édtresporidantes U‘ U, U, U, des équations que vérifie ła fonc- 
tion U. L'une de ces solutions, P, par exemple, est (1 — x? — y*}7, Didon 
montre qu’une autre solution P, est aussi un polynome et que les deux der- 
nières sont de la forme 
| Te, 
— r’ — y 
P,=(1—a— y? ET 
(3) 
+ æ 
P,=(1— g?’ — y? )7 Ro 
| yi 
2 
3 i + RS À Les 
Sn à me 
où ®, et ®, désignent des polynomes comme P, et P,, et où les logarithmes 
sont népériens. 
Voici maintenant les expressions de ces solutions par des fonctions hyper- 
géométriques. 
Si, dans les équations (1), on fait x? = x", y? = y’, ces équations prennent 
la forme des équations que vérifie la fonction 
(2, m+n)(B, m)(p', n) 
(y: m) (y, n) (1, m) (1, r) 
Fi(a, 6, DsV frs ))—2 om Ph 
la sommation étant étendue aux valeurs entières de m et de n de zéro à 
