314 . ACADÉMIR DES SCİENCES. 
Ces formules montrent que P, et €, sont égaux à une puissance de t — +! 
y 
1— g? 
une autre méthode qui simplifie beaucoup le problème, en le ramenant au 
problème analogue dans le domaine des polynomes de Legendre. 
Dans les équations différentielles (1), faisons le changement de variables 
multipliée par une fonction du seul rapport . On est ainsi conduit à 
s&u, y> B; U=TX, V=; 
Vi— x 
ces équations deviennent 
| g? P FP 
| RO. à: aa au. PPT A 
(1— u’) PIE + uv(i—u E “re 
aP ðP 
Sa a o N do Be PARE S 
+ 2(q—1)u(1— u’) ja À Qu jp Tal w) P O, 
(a) À 
(1— v?) ak — Uv{(1— u’) Las 
oy? du dv 
uga E agag + 2g(1— u?) P = 0. 
Si l’on cherche une solution de ces équations de la forme 
; P=(i—u}o(r), 
on trouve que la première est vérifiée en prenant À = g et laissant la fonc- 
tion © arbitraire; la seconde détermine alors ọ par l'équation du second 
ordre 
do d 
(11) (ne) ge +a(g—1) SE +2g9=0; 
qui joue, dans la théorie des polynomes de Legendre, le mème rôle que les 
équations (1) de Didon dans celle des polynomes d'Hermite : l'équation 
classique des polynomes X(») de Legendre de degré g est en effet celle 
qu’on déduit de l'équation (11) en prenant 
L'équation (11) admet les deux intégrales linéairement indépendantes 
4 d 
(12) p= a=k S E 
