SÉANCE DU 26 AOUT 1918. 335 
CORRESPONDANCE. 
M. Frépéric Sy adresse des remerciments pour la distinction que l’Aca- 
démie a accordée à ses travaux. 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l’unicité du développement d'une fonction 
en serie de polynomes de Legendre. Note (') de M. Micner PLANCHEREL. 
M. Ch. de la Vallée Poussin a obtenu sur l'unicité du développement 
trigonométrique des résultats d’une grande importance qu’il a indiqués 
dans une Note (°) et développés dans le n° 11 (novembre 1912) du Bulletin 
(classe des sciences) de l’Académie royale de Belgique. Il ma paru inté- 
ressant de dégager de la méthode de M. de la Vallée Poussin, spéciale aux 
fonctions trigonométriques, une méthode applicable aux séries de 
polynomes de Legendre, aux séries de fonctions de Bessel et de Sturm- 
Liouville. Je me bornerai à indiquer ici les résultats que j'ai obtenus pour 
les séries de polynomes de Legendre; les résultats analogues obtenus pour 
les autres développements seront exposés dans un Mémoire ultérieur qui 
contiendra la démonstration des résultats de cette Note. 
Le point de départ de la méthode de M. de la Vallée Poussin est le fait 
suivant : Si la fonction f(x), continue dans l'intervalle a=x£b, possède 
en chaque point intérieur de cet intervalle une dérivée seconde généralisée 
supérieure 
lim. sup. fieh) f a h) a à SA 
h=0 
Positive et non nulle, alors, dans cet intervalle, tout arc de la courbe y = f(x) 
est situé au-dessous de sa corde. 
Pour trouver, dans le cas des séries de polynomes de Legendre, un point 
de départ analogue, il est nécessaire de se reporter à la méthode que j ’ai 
exposée (°), pour aborder et résoudre dans une large mesure le problème 
(1) Séance du 19 août ose. 
(*) Comptes rendus, t. 155, 1912, p. 951. 
(°) Comptes rendus, t. 1553, 1912, p. 897; Annales de l'École Normale, t. 34, 1914. 
C. R., 1918, 2° Semestre. (T. 167, N° 9.) x 
