SÉANCE DU 26 AOUT 1918. 327 
Remarquons maintenant que les cordes qui figurent dans l'énoncé du 
théorème de M. de la Vallée Poussin indiqué plus haut ne sont autre chose 
e dy 
dx? 
mités des arcs de la courbe y = f(x). Or le premier membre y” de cette 
équation est à la dérivée seconde généralisée de y ce que A°F est au para- 
mètre généralisé du second ordre de F(3). Nous sommes ainsi amené natu- 
rellement à introduire les courbes solutions régulières de l'équation 
A°F(E) = o et à voir si le rôle géométrique des cordes peut être joué par 
elles. Pour bien marquer l’analogie, nous appellerons corde harmonique 
d'un arc de courbe y =F(%), a £52$,(0o<a<5<x)la courbe y = G(3) 
solution régulière de l'équation A, G(3)= 0, qui a les mêmes extrémités 
que l’arc de courbe donnée F(a) — G(ax), F(8)— = G(3). Notre point de 
départ sera, par suite, le théorème : 
Si one Dacin F(2), continue dans un intervalle 42328, (0<a<$<T), 
possède en chaque point intérieur de cet intervalle un paramètre généralisé 
supérieur du second ordre positif et non nul, alors, dans cet intervalle, tout 
arc de courbe y = F ($) est situé au-dessous de sa corde harmonique. » 
Ce théorème, dont la démonstration est aisée, une fois démontré, la 
marche suivie par M. de la Vallée Poussin se laisse transposer sans diffi- 
cultés de nature fondamentale. Pour énoncer en peu de mots les résultats 
que les solutions régulières de l'équation 
= 0o passant par les extré- 
obtenus, nous dirons qu'une série S'a,P,(x) de polynomes de Legendre 
0 Real 
possède une fonction generatrice f (æ), s’il existe une fonction f(æ) som- 
mable dans l'intervalle (— 1, + 1) telle que 
a ME f| fx) Patæ)da LÉ es PIS ME VON » 
2 
-i 
LA d ; Là _ EA r 
De plus, étant donnée une série quelconque Da P,(æ), nous représente- 
rons par ®(x) la plus petite des deux valeurs 
lim "ie S Dorae 
n 
lim inf © aP (æ) |; 
n = o 
yi 
Les théorèmes obtenus peuvent alors s’énoncer comme suit : 
an 
l. Étant donnée une suite quelconque de constantes a, telles que Ì lim —Æ0, 
