358 ACADÉMIE DES SCIENCES. 
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à n — i dimensions dans l’espace euclidien à zn œ> 3 dimensions et dans 
l’espace conforme à nz > 4 dimensions (problème de la représentation con- 
forme). Le premier problème est un cas particulier de celui, beaucoup plus 
général, qui a pour but l'étude de la déformation des variétés à p dimen- 
sions dans l’espace euclidien à z dimensions. Au lieu de particulariser le 
problème en donnant à z — p la valeur 1, on peut, tout en laissant z quel- 
conque, donner à p des valeurs simples, par exemple p = 2 et p = 3. D'un 
intérêt déjà très général est l’étude des variétés à 2 (ou 3) dimensions qui 
sont applicables sur le plan (ou l’espace) euclidien ou non euclidien, autre- 
ment dit l'étude des variétés à 2 (ou 3) dimensions dont le ds? est de cour- 
bure constante, cette courbure pouvant être, sans restreindre la généralité, 
égale à zéro (variétés développables) à — 1 (variétés de Beltrami) ou à +1 
(variétés de Riemann). Le cas p = 3 est beaucoup plus intéressant que le 
cas p — 2; je suis arrivé à cet égard à un certain nombre de résultats que je 
demanderai la permission à l’Académie d'exposer sommairement, mais il 
est nécessaire, pour pouvoir les énoncer d’une manière simple, d'introduire 
quelques notions reposant sur une étude préalable des propriétés infinité- 
simales purement projectives des variétés à 3 dimensions : c'est à ces notions 
que cette Note est consacrée. 
Si l’on considère, en un point M d’une variété à trois dimensions, les 
plans osculateurs (à 2 dimensions) des différentes courbes tracées sur la 
variété et passant par M, le lieu de ces plans n’est pas en général une variété 
plane; mais il y a intérêt à considérer la plus petite variété plane contenant 
tous ces plans : je l'appellerai l'Ayperplan osculateur de la variété en M. On 
pourra de même considérer la plus petite variété plane contenant les hyper- 
plans à 3 dimensions osculateurs aux courbes tracées sur la variété et pas- 
sant par M : ce sera par définition l’Ayperplan osculateur du second ordre de 
la variété en M; et ainsi de suite. 
Soit + 3 le nombre des dimensions de l'hyperplan osculateur (P) 
en M; à toute variété plane (p) à À + 2 dimensions contenant l'hyperplan 
tangent mais contenue dans (P) correspond dans lhyperplan tangent un 
cône du second ordre, lieu des tangentes en M aux courbes tracées sur la 
variété et dont le plan osculateur est contenu dans (p). Nous définissons 
ainsi dans l’hyperplan (ou espace) tangent un réseau linéaire de cônes du 
second ordre dépendant de À paramètres homogènes, et que j'appellerai 
le réseau asymptotique relatif au point M. 
On peut de même définir un réseau asymptotique du second ordre, 
formé de cônes du troisième ordre, et ainsi de suite. La simple connais- 
sance du réseau asymplotique d’un ordre déterminé permet, sinon de con- 
