SÉANCE DU 2 SEPTEMBRE 1918. 359 
naître le réseau asymptotique de l’ordre suivant, du moins de trouver un 
réseau linéaire maximum dans lequel il est contenu. 
Si, en tout point M, les hyperplans osculateurs de deux ordres successifs 
déterminés coinéidets ils coïncident avec ceux de tous les ordres ultérieurs 
et ils sont fixes tout le long de la variété. 
La notion de tangentes conjuguées, de tangente asymptotique, s'étend 
facilement aux variétés générales à 3 dimersions; deux D mr sonl 
conjuguées quand elles sont conjuguées par rapport à tous les cônes du 
réseau asymptotique; une tangente est asymptotique quand elle appartient 
à tous les cônes du réseau asymptotique. Une notion nouvelle est celle de 
plan tangent distingué; un plan tangent (à 2 dimensions) H est dit distingué 
quand ce plan, considéré comme plan double, fait partie du réseau asymp- 
totique : c’est une notion HP dans la théorie des variétés déve- 
loppables. 
On peut facilement trouver, au point de vue projectif, tous les types de 
réseaux linéaires de cônes du second ordre. À chacun d’eux correspondent 
les variétés à 3 dimensions dont les réseaux asymptotiques appartiennent 
à ce type. Une première question qu’on peut se poser est celle de savoir 
s’il existe des variétés correspondant à chaque type, et une seconde ques- 
tion est celle de savoir quel est le degré de généralité de ces variétés. La 
première question doit être résolue par l’affirmative. Quant à la seconde 
j'ai pu la résoudre facilement pour presque tous les types, en appliquant ma 
théorie des systèmes différentiels en involution : la plupart des systèmes - 
différentiels qui expriment que le réseau asymptotique d’une variété 
appartient à un type projectif donné sont d'eux-mêmes en involution, et 
presque tous les autres peuvent être ramenés en involution par un prolon- 
gement immédiat. Ne pouvant passer en revue tous les résultats obtenus, 
je me contenterai, pour donner une idée de leur nature, de signaler deux 
Cas particuliers correspondant tous deux à Å = 5. 
I. Supposons que le réseau asymptotique en un point M soit formé de cônes 
passant par deux génératrices fixes MO,, MO;, la polaire du plan MO, O, étant située 
dans un plan fixe (II). Le plan MO, 0, est ici un plan tangent distingué. La solution 
générale du système différentiel correspondant dépend de quatre fonctions arbitraires 
de deux arguments; les variétés fournies par cette solution générale sont situées dans 
un hyperplan à 6 dimensions, ou, comme on peut dire, elles n’existent que dans 
l’espace à 6 dimensions, Mais il y a une solution séngulière qui dépend d’une fonc- 
tion arbitraire de trois arguments; les variétés qu’elle fournit existent dans un espace 
à un nombre quelconque de dimensions, et elles jouissent de la propriété remarquable 
