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Leune Il. — Le polygone simple P et la courbe de Jordan TV étant supposés 
sans points communs, si À, B, C, D et À, B', C', D’ sont respectivement quatre 
points de P et quatre points deT', si (AA), (BB'), (CC'), (DD) sont quatre 
continus deux à deux distincts et n'ayant en commun avec P etT que les points 
servant à les désigner, l’ordre mutuel des points A, B, C, D sur P et celui des 
points A’, B', C’, D’ sur T sont identiques ou inverses. 
Le second lemme est une application aisée du premier. 
Soit maintenant R une région limitée à l et soient M et N deux de ses 
points frontières. Formons avec des carrés de côté £, un quadrillage du plan 
et considérons le polynome simple IT limitant un domaine contenant un 
certain point de R indépendant de £, et formé de carrés appartenant à R. 
Tout point de T est distant de II de moins de 2e. Soient respectivement M 
et N'lessommets de H les plus voisins de Met N. Soient H et C deux sommets 
de II séparés sur ce polygone par M’ et N’. Si H,, K', M, N, sont les points 
de F les plus voisins respectivement de H, K, M’, N’, et si les distances 
de H et de K à M’ et à N’ surpassent 4e, les points H, et K, sont, en vertu 
du second lemme, séparés sur ľ par les points M', N°. Laissant fixe K, 
faisons coïncider H successivement avec tous les sommets de II séparés 
de K par M’ et N’. Nous déterminons sur l’are M H, N° de T une. chaîne 
ponctuelle de pas inférieur à 5e et dont tous les points sont distants de R de 
moins de 2:. De là deux conséquences : 
Tnéorème I. — Toute région du plan limitée à T admet la totalité de T pour 
frontière. | 
_ Tuéorème IL. — Quel que soit le nombre positif n, si M et N sont deux 
points quelconques de T, et si R est une région limitée à T, il est possible, pour 
chacun des deux ares MN deT, de former une ligne brisée simple k entiere- 
ment contenue dans R et telle que la distance à la ligne À de tout point de 
larc MN, et la distance à l'arc MN de tout point de la ligne À soient infé- 
rleures À T). 
En particulier, si un arc MN de T et deux points M’, N’ de R sont inté- 
rieurs à un cercle c, et si les segments rectilignes MM’, NN’ sont (sauf 
pour leurs origines) dans R, M’ et N’ peuvent être joints par une ligne 
brisée contenue dans R et dans c. 
.," T 
Conséquence. — Une courbe de Jordan contenant un arc rectiligne MN 
divise le plan en deux régions au plus. 
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