410 ACADÉMIE DES SCIENCES. 
mettent de montrer que son intégrale générale est de la forme 
A: as Ca ue 
Enfin le cas ultime évident est celui de deux équations simultanées 
(4) y parat; g = bz 
où les deux coefficients a et b sont des fonctions de x et y vérifiant la con- 
èo a T, ol RE” 1 
dition élémentaire © — ©, et dont l'intégrale générale 
dy dx 
4 se GA 
contient une constante C. 
II. Cas de réduction des fonctions hypergéometriques. — En appliquant 
une idée générale sur l’irréductibilité des systèmes d'équations différen- 
telles, on peut alors considérer les cas de réduction suivants pour les 
fonctions hypergéométriques de deux variables. 
D'abord, pour chacune des fonctions F,, F,, F,, il y aura réduction du 
premier, du second ou du troisième ordre, si, pour certaines relations 
établies entre les éléments &, B, «’, &', y, y qui y figurent, cette fonction 
vérifie, non seulement un système tel que (1), mais un autre système tel 
que (2), (3) jou (4) avec des coefficients rationnels en x et y. De même, 
pôur la fonction F,, il y aura réduction du premier ou du second ordre si, 
sous certaines conditions imposéesaux éléments x, B, 8', y de F,, cette 
fonction vérifie, non seulement un système tel que (2), mais un autre 
système tel que (3) ou (4) avec des coefficients rationnels en x et y. 
La recherche systématique de tous ces cas de réduction est un problème 
très digne d'intérêt; la solution paraît en pouvoir être trouvée dans l’étude 
du groupe des systèmes d'équations différentielles hypergéométriques, tel 
qu'il a été considéré par M. Emile Picard et par M. Goursat dans leurs 
recherches sur l’extension de la méthode de Riemann au cas de deux 
variables ('). 
Je me bornerai ici à donner des exemples. 
Te 
(1) E. Picard, Sur une extension aux fonctions de deux variables du problème 
de Riemann relatif aux fonctions hypergéométriques (Comptes rendus, t. 90, 1880, 
p. 1267; Annales de l’École Normale, 2° série, t. 10, p. 305). — E. Goursat, Comptes 
rendus, t. 95, 1882, p. 717, 903, 1044. 
