SÉANCE DU 16 SEPTEMBRE 1918. 41r 
IV. Exemples de réduction du premier ordre. — A. Le premier exemple 
que j'ai en vue résulte de la formule suivante que j'ai donnée autrefois (loc. 
cit.) sous la forme 
ESA 
F, (g, 8, 6’, E z, y)= GITE (x F0 5, 5", FREE ee rs 
formule qui s’écrit aussi, en changeant y en — er 
(5) Ra BE y m y) = 01y) F (a B, P, y g, =) 
sous la condition unique 
(6) a-t Ey. 
La fonction F,, dans laquelle la condition (6) est remplie, vérifie, 
comme F,, trois équations du type (2) à coefficients rationnels; la condi- 
tion (6) est donc une condition de réduction du premier ordre de F,. 
Nous n'écrirons pas les formules analogues qui se déduiraient de (5) 
et (6) en permutant «æ avec B et a’ avec B', ou æ avec y eta avec g' et B 
avec B’. 
B. Un deuxième exemple de réduction, relatif à la fonction F,, est 
fourni par les fonctions de Didon appelées P, et P, dans la Note précédente 
(Comptes rendus, t. 167, 1918, p. 309). Ces deux fonctions, ainsi que le poly- 
nome P,, vérifient, non seulement les deux équations de Didon du type (1), 
mais encore trois équations à coefficients rationnels du type (2). 
V. Exemple de réduction du second ordre de F,. — Considérons les deux 
équations suivantes de la forme (3), que nous écrirons d’une manière symé- 
trique 
(31) | {G—x)p—(1—7)g —À:=o, 
| (zy — x — y}s—p(i—zx)p + y(1—y)q] = 0, 
À, u, v désignant des constantes données différentes de zéro. Il existe une 
fonction particulière, 
X («, m)(a', n)(B, m)(B', n) mn 
: => (p m+n) (m m), nr) p 
vérifiant ces équations. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit, comme 
on le voit, soit par substitution directe, soit par différentiation et combi- 
naison des équations (3°), que les cinq éléments q, a, 8, D, y, qui figurent 
