412 ACADÉMIE DES SCIENCES. 
dans F,, vérifient les cinq équations suivantes : 
(7) a+ B+aæ +p —ay=o,  (a—pP}7— (a — p) = o0; 
(8) a + B— a — 8'—2À = 0, aß + v=o, a! B'+ ìu =o. 
Les deux premières (7), indépendantes de à, u, v, forment les conditions 
nécessaires et suffisantes que doivent remplir g, B, «', 6’, y pour que la 
réduction ait lieu; les trois autres (8) donnent ensuite À, u et y. Comme la 
fonction F, ne change pas quand on permute « avec B, ou a’ avec b’, on 
peut toujours réduire la seconde des relations (7) à a — 6 = x — p. 
Dans cette hypothèse, en supposant inversement À, u, y donnés, les 
équations (3°) admettent l'intégrale particulière F,(x, «', B, B’, y, x, y), les 
éléments de cette fonction étant donnés par les relations 
MESA aB —— lv, y=yu— y; 
(9) ocak, B'=8B— hà. 
La fonction F, correspondante peut s'exprimer à l’aide de la série hyper- 
géométrique de Gauss. En effet, faisant 
U—=T+Y—ZXY, 
on voit que l'intégrale générale de la première des équations (3°) est 
z =(1— y) q(u), 
o(u) étant une fonction arbitraire de u. La seconde des équations (3°) 
donne, pour déterminer ọ (u), 
d d 
u(1— u) = +ë Aert) E + Àvo = 0, 
équation qui admet comme solutions particulières 
mm Ea 6,7, un), pm ut YF (a +1 — y, B+r—y,2—7y, üh 
les éléments x, ß, y ayant les valeursi(9). On a alors, en désignant par ~, 
et k, des constantes et en supposant æ, x’, B, B', y déterminés par les 
formules (9), 
F, (æ, a', B, B', 7, x, Y) = k91 + kaga- 
Dans le domaine du couple de valeurs x = o, y = 0, u étant voisin de 
zéro, la seconde fonction p, n’est pas régulière, tandis que F, et la première 
f 
