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M. le Directeur de ÉCOLE NATIONALE VÉTÉRINAIRE pe TouLouse adresse 
un Rapport relatif à l'emploi qui a été fait de la subvention attribuée à 
l'Ecole sur la Fondation Loutreuil en 1917. 
GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les variétés développables à trois 
dimensions. Note de M. E. Carran, présentée par M. Appell. 
On sait que, dans l’espace à trois dimensions, la propriété d’une surface 
d'être développable, bien que d’origine métrique, est au fond purement pro- 
jective, puisque les surfaces développables sont les lieux des tangentes à une 
courbe gauche. Cette propriété paradoxale n’est plus vraie si l’on considère 
les variétés à deux dimensions d’un espace à un nombre quelconque de 
dimensions. Elle disparaît également dans les variétés à trois dimensions 
d’un espace à n `> 4 dimensions. 
J’aiindiqué, dans une Note récente, qu’il existe toujours des variétés à 
trois dimensions pour lesquelles le réseau asymptotique appartient à un 
type projectif quelconque donné à l'avance. Il n’en est plus de même si l’on 
veut que la variété soit développable. Pour qu'une variété RÉELLE, située dans 
un espace euclidien, soit développable, il faut que le réseau asymptotique en 
chacun de ses points admette pour cônes de base h plans doubles réels, h étant 
l’ordre du réseau. 
Cette condition nécessaire ne suffit pas. On se rappelle qu’à chaque cône 
du réseau asymptotique est associé un hyperplan ( p) à + 2 dimensions 
contenu dans l’hyperplan osculateur et qui est le lieu des tangentes aux 
courbes tracées sur la variété et dont le plan osculateur est contenu dans (p). 
Pour qu’une variété soit développable, il faut et il suffit qu'on puisse trouver 
comme cônes de base du réseau asymptotique h plans doubles, tels que Les 
hyperplans ( p) qui leur sont associés soient rectangulaires entre eux. se 
On aperçoit tout de suite que, si À = 1, la condition supplémentaire qui 
vient d’être énoncée disparaît et il reste la propriété, purement projective, 
du cône asymptotique de se réduire à un plan double. Les variétés dévelop- 
pables de cette catégorie sont formées par les lieux des plans osculateurs à 
une courbe gauche. 
La condition énoncée plus haut peut prendre une autre forme. Menons 
par un point fixe O un hyperflan parallèle à l’'hyperplan normal. La carac- 
téristique de cet hyperplan, quand le point M se déplace d’une manière 
* quelconque sur la variété, est une variété plane (Q) qui, transportée en M, 
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