SÉANCE DU 16 SEPTEMBRE 1918, 429 
est la variété à n — h — 3 dimensions perpendiculaire à l'hyperplan oscula- 
teur. Appelons hyperplan normal principal V'intersection de l’hyperplan 
osculateur et de l’hyperplan normal. En général, quand le point M se 
déplace sur la variété tangentiellement à un plan (IF), il n'existe dans 
l’'hyperplan normal principal aucune direction qui soit commune à l’hyper- 
plan normal en M et à l’hyperplan normal infiniment voisin; il y a excep- 
tion si le plan tangent (I) est distingue; il lui correspond alors dans 
l'hyperplan normal principal une droite issue de M qu'on peut appeler 
normale distinguée. 
Cela posé, pour qu'une variété réelle soit développable, il faut et il suffit 
qu'il existe h plans tangents distingues réels tels que les h normales distinguées 
correspondantes soient rectangulaires. 
On peut se proposer de chercher le degré de généralité des variétés 
développables dont le réseau asymptotique appartient à un type projectif 
onné. 
Si À — 2, il existe deux plans tangents distingués et deux seulement; ils peuvent 
être regardés comme les plans doubles d’un faisceau de plans en involution, chaque 
cône du réseau asymptotique est formé par un couple de plans de ce faisceau. Les 
variétés qui admettent un tel réseau asymptotique dépendent, quel que soit n, de deux 
fonctions arbitraires de deux arguments; elles sont réglées et admettent deux familles 
de surfaces distinguées, qui sont développables; parmi toutes ces variétés, celles qui 
sont elles-mêmes développables dépendent d’une seule fonction arbitraire de deux 
arguments. 
Si k = 3, il peut y avoir trois plans tangents distingués ou une infinité. 
Dans le premier cas ces trois plans tangents forment un véritable trièdre M@,6,06,, i 
et le réseau asymptotique est formé des cônes conjugués par rapport à ce trièdre. Les 
variétés admettant un tel réseau asymptotique dépendent de six fonctions arbitraires 
de deux arguments; elles admettent trois familles de surfaces distinguées. Ces six 
fonctions se réduisent à trois, si l’on impose à la variété la boat d'être déve- 
loppable, 
Dans le second cas le réseau asymptotique est formé de tous les systèmes à deux 
plans qui passent par une droite fixe M@. Les variétés développables correspondantes 
peuvent être obtenues de deux manières : 1° en considérant une variété plane (Q) 
à n — 1 dimensions, en prenant dans (Q) une variété développable quelconque à deux 
dimensions et en élevant par chacun de ses points une perpendiculaire à (Q); 2° en 
considérant une variété sphérique (S) à 7 —1 dimensions de rayon 1, en prenant 
dans (S) une variété à deux dimensions de courbure totale 1 et en joignant chacun 
de ses points au centre de (S). Ces variétés CT dépendent de n — 2 fonc- 
tions arbitraires de deux arguments.: 
Si À = 4 et si l’on reste dans le cas général où il n'y a que, quatre plans tangents 
distingués n'ayant aucune droite commune, la solution générale du système diffé- 
