SÉANCE DU 30 SEPTEMBRE 1918. ; 483 
déré comme plan double, fait partie du réseau asymptotico-isotrope; tout 
plan distingué est prineipal, sans que la réciproque soit vraie. Considérons 
la variété plane caractéristique de l'hyperplan normal quand le point M se 
déplace d’une manière quelconque sur la variété donnée et, dans l'hyperplan 
normal, la variété plane (R) polaire de celle-là par rapport à lhypersphère 
de centre M et de rayon y% 1; cette variété plane (R) est située dans 
l’hyperplan normal principal et se confond avec lui si le cône isotrope ne 
fait pas partie du réseau asymptotique; elle a une dimension de moins que 
lui dans le cas contraire. Cette variété plane (R) est encore le lieu des 
extrémités des vecteurs d’origine M égaux et opposés aux vecteurs « cour- 
bure normale » des courbes tracées sur la variété donnée et passant par mo 
Cela posé, si le point M se déplace sur la variété tangentiellement àun plan 
tangent donné, il n'existe dans (R) aucun point commun à Phħyperplan 
normal en M et à l’hyperplan normal infiniment voisin; il y a exception si. 
le plan tangent est principal : il lui correspond alors dns (R) un point que 
j'appellerai le centre de courbure principal correspondant au plan tangent- 
principal. Fr 4 
Pour qu une variété réelle soit une varieté de Beltrami, il faut et il suffit 
qu'il existe k' plans tangents principaux réels, tels que les k' centres de cour- — 
bure principaux correspondants soient Po (or deux à deux a nopo a S 
l’hypersphère de centre M et de rayon y— 1. 
J'insisterai sur les variétés de Beltrami de l’espace à cinq Lait: Fe 
On a ici 4 = 3; il existe donc trois plans tangents principaux nécAaire se 
ment rectangulaires entre eux; la variété plane (R) est à deux dimensions, 
c'est le plan normal. Il faut et il suffit que les trois centres de courb 
principaux A,, A., A, forment un triangle conjugué par rapport à la 
circonférence de centre M et de rayon V=: 1, autrement dit que le triangle 
A,A, A, admette le point M pour Orthesanire ei que la puissance de M par 
rapport au cercle circonscrit soit — 2. Le lieu des extrémités des vecteurs 
égaux et opposés aux courbures normales est la région intérieu 
triangle A,A,A,; d'une manière plus précise l'extrémité du vecteur ég E 
et opposé à la courbure normale d’une courbe (C) tracée sur Ja variété est 
le barycentre des trois points A,, À, À, respectivement affectés comme 
masses des carrés des cosinus directeurs de la tangente à la courbe par- 
~ Papport aux trois jaagenies principales. Il y a quatre tangentes asympto- 
use symétriques deux à deux par rapport aux plans uapa geot 
