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SÉANCE DU 7 OCTOBRE 1918. 519 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les systèmes d'équations aux dérivées 
partielles vérifiés par les polynomes hypersphériques. Note de- 
M. J. RampÉ DE Férier, présentée par M. P. Appell, 
Les Notes publiées récemment par M. P. Appell ('), sur les systèmes 
d'équations aux dérivées partielles des fonctions hypergéométriques de 
plusieurs variables, ont à nouveau attiré mon attention sur l’un des plus 
remarquables d’entre eux : le système de n équations linéaires aux dérivées 
partielles du second ordre, qui appartient aux polynomes hypersphériques 
zonaux Tir À 
Dans ma Thèse (*), voulant établir ce système en évitant les calculs un 
peu laborieux de Didon (°) (qui, le premier, en a rencontré un cas parti- 
culier), je me suis servi du fait que V,, a pour expression 
ma Ma 1— mMm I— M} n I I 
PPS a — —;}; ss; — — s.. — — — u-i, —; sue — 3 
1 2H. 8 ) > , , , , F- are 5 
2 2 2 2 mi wi 
F, étant une des fonctions hypergéométriques de M. Lauricella 5 X 
Cette Voie, qui exige, au préalable, la formation de l'expression générale 
des Vm, et la connaissance du système d'équations de la fonction F,, 
est encore bien détournée ; je me propose de montrer comment on parvient 
au même résultat, par une méthode intuitive, tirée directement de la défini- 
tpr de Vy.. 
Ces polynomes hypersphériques s’introduisent, en effet, de la manière 
suivante : considérons un espace à (n + 2) dimensions, où un point a pour 
coordonnées cartésiennes rectangulaires Be Bains et ape i 
r= zit. Sn + Ps PP San HSan 
pe aae 
T) P. ArreLL, Comptes Nr. t. 167, 1918, p. 309 et t 408. 
(C) Sur les fonctions LE pi dpt (Thèse, Paris, 1915, p. 36; Gauthier- 
Villars). 
(°) F. Dinox, Étude de certaines fonctions analogues aux fonctéiié X, de 
Legendre (Ann. scient. de l'École Normale sup., 1™ série, t. 5, 1868, p. 249). Pour 
les généralités, voir l'article de P. Appell et A. Lambert dans l'édition française de 
l'Encyclopédie des Sciences mathématiques, t. 2, vol. 5, fasc. 2. 
(*) G. Lavricerta, Sulle funzioni ipergeometriche a piu variabili ti (Rend. del Cir- 
colo Matematico di Palermo, t. T, 1893, p. 111). 
