SÉANCE DU 14 OCTOBRE 1918. : 547 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le problème de pückland. 
Note de M. E. Goursar. 
1. En étudiant certaines transformations des surfaces à courbure totale 
constante, M. Bäcklund a été conduit à poser le problème suivant, que nous 
appellérons, pour abréger, problème de Bäcklund : 
Déterminer deux multiplicités d’ éléments de contact M, (x, Y;2,p;4) et 
a(2', Y', 3, p', g'), se correspondant élément par élément, de telle sorte 
p. "entre les éléments correspondants il existe quatre relations distinctes données 
N F;(2, a p g tny paeo GER ERSAN Ear 
Nous laisserons de côté le cas où l'on pourrait déduire de ces quatre 
relations une ou plusieurs équations ne renfermant que x, y, z, p, q, ou les 
lettres accentuées. On peut alors remplacer les relations (1) par un système 
de cinq équations où figure un paramètre auxiliaire ų, 
Mi s= f(x, y, Z, P, q; u), Y= Jo = fa P'= fo d'= fs, 
ces équations pouvant être résolues par rapport à 4", y ,3,p,g.Lacondi- 
tion dz’ = p' dx’ + q' dy’ devient | 
(3) Te Pie à so 
X, Y, Z, P, Q, U étant des fonctions de x, y, z, p, J, u, et. le problème de | Fu 
Bäckinnd est ramené à trouver les multiplicités intégrales à deux dimen- 
sions d’un système de deux équations de Pfaff à à six nama | 
ds — pdx — q dy =0, 
ir y ( pe - 
bé } X dæ Y dy +L ds + P dp + Q dg + U du = o. ore 
FLE 1 FES ?, alin 
a? 
Tous les-résultats connus sur l'i lo 
au problème de Bäcklund ('). On sait, d itak les théorèmes généraux, que 
le système (4) admet une infinité d'intégrales à deux dimensions, et-qu’ 'il 
est en général de és deux. re àt tout A, de deux an 
(+) Voir, en particulier, le Ménétre di M. Cartan dans is + its 4 7 7 
Normale, 3° série, t. 18, 1901, P- 241. es se 
