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de Pfaff à six variables on peut faire correspondre, d’une infinité de 
manières, un problème de Bäcklund. La démonstration est facile. 
2. L'étude des éléments singuliers d’un système de deux Cquations de 
Pfaff à six variables permet de démontrer très aisément que tout système de 
cette espèce peut, par un changement de variables, se ramener de deux (') 
facons différentes à la forme suivante : 
dz — pdx — q dy —0, 
| Xdx +Y dy + Pdp + Q dq =o, 
X, Y, P, Q étant des fonctions de six variables z, y, z, p, q, u. La recherche 
des multiplicités intégrales à deux dimensions de ce système se ramène à 
l'intégration d’une équation aux dérivées partielles du second ordre admet- 
tant une famille de caractéristiques du premier ordre. Considérons, en 
effet, x et y comme les deux variables indépendantes; la fonction z = f(x, y) 
etses dérivées partielles doivent satisfaire aux deux conditions 
res =- X+Pr+Qs—o, Y+Ps+Qt—o, ; 
-ct lélimination de u conduit à une équation E du second ordre 
(7) ; ; Els, a 2 Pd aS So, 
admettant, d'après la façon même dont elle est obtenue, une famille de 
caractéristiques du premier ordre. A toute intégrale s >F (æ, y) de E cor- 
respond une multiplicité intégrale à deux dimensions du système (5); les 
valeurs de p et g sont données immédiatement par les formules 
d d i 
\ pS, = s 
et sos de u se déduit de l’une ou l’autre des relations (6). Il est 
clair d’ailleurs que l'équation E n’est définie qu’à une transformation de 
contact près, et que toute équation du second ordre, qui possède une : 
famille de caractéristiques du premier ordre, peut être obtenue de cette 
façon. 
) Ce ésuitat a été démontré directement par M. Duport, au moyen d'assez es 
o 
‘calculs (Journal dè Mathématiques pures et appliquées, 1900, p. 41). Je laisse de : 
côté certains cas particuliers qui ne, se présentent ‘que lorsque les coefficients = +. 
système salisfont à certaines relations d'égalité. 
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