SÉANCE DU 14 OCTOBRE 1918. 9 
Puisque tout système de deux équations de Pfaff à six variables des 
général, se ramener de deux façons différentes à la forme (5), on voit que 
la résolution du problème de Bäcklund peut, en général, se ramener, de 
deux façons différentes, à l'intégration d’une équation aux dérivées par- 
tielles du second ordre ayant une famille de caractéristiques du premier 
ordre. Les intégrales de ces deux équations sè correspondent une à une par 
une transformation de Bäcklund B,, ce qui conduit au théorème suivant : 
A. De toute équation aux dérivées partielles du second ordre, ayant deux 
systèmes de caractéristiques distincts, dont l’un est du premier ordre, on peut 
déduire, par une transformation B, correspondant à celte famille de caracté- 
risliques, une autre équation de méme espèce et une seule g ), si l’on ne consi- 
dère pas comme distinctes deux équations qui se ramènent l'une à lautre 
par une transformation de contact. On détermine cette transformation B, 
en ramenant une expression de Pfaff à sa forme canonique. 
Pour une équation de Monge- -Ampère, ayant ses deux systèmes de 
caractéristiques distincts, il existe aussi deux transformations B, distinctes, 
qui ne conduisent pas en général : à des-équations de Monge-Ampère. 
3. L'intégration d’un système de deux équations de Pfaff à six variables 
ut, dans certains cas, se ramener d’une autre façon à l'intégration d'une 
équation de Monge-Ampère, E’, de telle façon qu’à une intégrale de E’ cor- 
respondent une infinité d ‘intégrales, dépendant d’une constante arbitraire, 
des deux équations E, E,, définies plus haut, tandis qu'à une intégrale 
deE, par exemple, Correspénd une seule intégrale de E’. On passe alors 
de l'équation E à l'équation E’ par une transformation B; 
Si lon peut ramener ainsi de deux façons différentes l'intégration du 
système de Pfaff à l'intégration d’une équation de Monge-Ampère, ces deux 
équations E’, E” se correspondent par une transformation de Bäcklund B,. 
On déduit aisément de ce qui précède les deux propositions suivantes : 
B. Si une équation de Monge-Ampère, ayant ses deux familles de caracté- 4 
risiiques distinctes, provient d’une trans formation B, relative à l'un des sys- 
temes de caractéristiques, elle peut aussi être obtenue, en général, par une 
OAOA B, N au second système de nor use 
(t) J. Clairin avait démontré dans sa Thèse que, si ARA Forme B, existe, 
elle est unique, abstraction faite d’une transformation de contact; mais on n'avait 
pas encore démontré, je crois, que cette transformation existe toujours, ce qui ue. 
généralise, autant que la chose est possible, la célèbre transformation de Lapl ace. + 
G. R., 1918,7 2° Semestre. (T. 167. N° 16.) Re nn 
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