550 ACADÉMIE DES SCIENCES, 
Cù Toute transformation B, peut en généra! tre obtenue de deux façons 
différentes par une combinaison de deux transformations B,. 
Les autres questions que l’on peut se proposer sur les transformations de 
Bäcklund se ramènent aussi à l'étude de questions relatives aux systèmes 
de deux équations de Pfaff à 6 variables, où interviennent les propriétés des 
éléments singuliers de ces systèmes. 
GÉOMÉTRIE INFI ariétés de Riemann à trois dimensions. 
Note (') de M. E. Carras, présentée par M. P. Appell. 
Étant donné un espace euclidien à z dimensions, je dirai qu’une variété 
à trois dimensions située dans cet capace esl une variétė de Riemann si 
son ds? est de courbure constante et égale à + 1, ou encore si elle est appli- 
cable sur l’espace non cuchdien elliptique à trois dimensions de cour- 
Dure I. 
Le réseau asymptotico-isotrope intervient ici comme dans la hors des 
variétés de Beltrami. La variété plane (R) se définit d’une manière ana- 
ne mais en substituant à l'hypersphère de centre M et de rayon y =T 
: Phypersphère de centre M et de rayon 1; celte variété plane est encore le lieu 
_ des extrémités des vecteurs d’origine M égaux aux courbures normales des 
~ courbes tracées sur la variété. Les définitions du plan tangent principal et 
du centre de courbure principal ne sont pas à modifier. 7 
D après ce qui a été dit sur les variétés de Beltrami, il est bien évident 
qu ’on aura une variété de Riemann dès qu’il existera h’ plans tangents'prin- ` 
cipaux réels, tels que les Æ% centres de courbure principaux correspondants 
soient conjugués deux à deux par rapport ar hypersphère di ertreMe de - a 
rayon 1. Mais cette condition, qui est su ffisante, n'est plus nécessaire. D'abo 
il peut arriver que deux des plans principaux soient imaginaires conjugués. ee 
Ensuite, et ce qui est plus intéressant, čil peut arriver que le réseau asymp- p 
totico-isotrope n'admelle pe des cônes de base se réduisant tous à des plans 
doubles. n 
-Ces cas exceptionnels sont les suivants : 
a re Le réseau asymptolico-isotrope se réduit au cône isotrope: on a 
L m n= À et la varte est une a re de rayon E 
G ) Sese du 7 octobre 1918. 
