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Cette équation a été signalée par M. Stodola (' ), qui en a étudié des 
solutions très particulières; nous avons réussi à l'intégrer complètement 
par quadratures. ; 
Ajoutons qu’à toute solution o, l'intégrale première indiquée fait corres- 
pondre une fonction p, connue, qui est un multiplicateur de la différen- 
tielle ¢ dx — u dy; ona donc les lignes de courant par une quadrature. 
2. Sil’on pose ọ = az, l'équation (1) s'écrit 
(2) Pra pgr E reo, 
p, q désignant les dérivées premières, r, s,¿ les dérivées secondes de z. 
Suivant que l'on a p? + g*>1 ou p?+ q? < 1, c'est-à-dire- suivant que la 
vitesse permanente en (æ, y) est supérieure ou inférieure à la vitesse x de pro-. 
pagation du son dans le fluide, les caractéristiques de (2) sont réelles ou 
imaginaires. On sait à quelles différences profondes cela correspond, d’après 
_les recherches classiques de M. Émile Picard et d’autres savants, pour les 
propriétés des intégrales et les conditions aux limites qu’on peut leur 
imposer. 
À ce pomi de vue, l'équation (2) est à rapprocher de F équation 
H Q — p*)t+ apgs+(1—g?)r= o, 
qui se déduit de celle des surlaces minima, en changeant x en ix, yen iy, et 
que l’on étudie aisément. 
Appliquons aux équations (2) et (3) la transformation de Legendre, ce 
qui donne, au lieu de (2), 
D ere Pie 
. Les caractéristiques de la transformée de (3) sont les deux naile de 
_demi-tang: ates au cercle (C) : X? + Y?— r. Les caractéristiques de (2 
sont t leurs etes us ee c ’est-à-dire des Fe de de ce 
- x = cos — tsin, Ya sing + Loos, 
‘q uations sont respectivement | 
-B+ i—zarctaagh — 
