SÉANCE DU 23 DÉCEMBRE 1918. 1025 
d’une expression asymptotique des /, souvent presque impossible à obtenir, 
des indications sur les valeurs asymptotiques pouvant conduire à des 
résultats importants. 
En voici un exemple : 
Soit une substitution rationnelle : Z = R(z) dont l'itération conduit à 
une division du plan en deux régions simplement connexes, séparées par 
une courbe L, et qui sont les domaines respectifs de deux points doubles 
attractifs. Nous allons montrer que, sauf dans un cas simple, L wa de tan- 
gente en aucun point. 
Soit a un point de L. Il existe des domaines simplement connexes D, 
dans lesquels certaines branches des fonctions R_,(z), inverses des itérées 
de R(z), roni holomorphes et tendent vers a. Soit une suite de telles 
fonctions : Raa (2); Ra, (6); .... On montre qu’on peut choisir les &, et D 
de manière qu’elles prennent la valeur a en des points ayant un point 
limite intérieur à D, c’est-à-dire que D contienne un point limite des 
conséquents de a. 
Ceci rappelé, il est possible d’après I d’extraire de la suite des R_,,(3) 
une nouvelle suite que nous appelons fiz}; fals); ..., f,(z), ..., pour 
laquelle - 
Jal) — a = pna [f (2) + er (3)], 
f(z) ayant ici un zéro dans A n’est pas une constante. 
Soient alors” la partie de la ligne L située dans D ; p, q, deux points quel- 
conques de y auxquels correspondent, par la transformation conforme 
z'— f (z), les deux points p', g’ sur y’. L contenant les antécédents de tous 
ses points contient en particulier les points /,(p), f,(q) 
Si w désigne une valeur limite de Pargument de u, et ©, 4 les arguments 
de p', q', les quantités f,(p) — a, f,(q) — a auront comme valeurs limites 
de leurs arguments : © +9, w+ Y} quisont distinctes (mod), à moins 
que les points p’, g ne soient en ligne droite avec z’ = o. 
On conclut de là qu’il n’y aura de tangente en a que si y’, image de y, se 
compose de segments d’une même droite auxquels correspondent pour y 
dės arcs analytiques sans point singulier. On en conclura finalement que 
L est formée d’un seul arc régulier de courbe analytique, ce qui n’est possible, 
ainsi que je l'ai démontré antérieurement, que si L est une circonférence, 
[Z, R(z2)] étant alors une substitution à cercle fondamental. 
Dans le cas limite où l’un des points doubles attractifs 6 devient un point 
double indifférent (s = + 1) situé sur L, en ce point et en ses antécédents 
y R., 1918, 2° Semestre. (T. 167, N° 26.) 133 
