SÉANCE DU 30 DÉCEMBRE 1918. 1065 
PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur un insariant intégral de l Hydrodynamique 
et sur son application à à la théorie de la relativité générale. Note (')de M. E. 
Vessior, présentée par M. Appell. 
1. Imaginons un milieu continu, glissant sur un plan xOy; soit, à l'ins- 
tant ¿, au point (x, y), ® sa densité de masse (superficielle), et (u, v) sa 
vitesse. Les équations x = $(4), y = $ (t) du mouvement d’une de ses parti- 
cules ont pour représentation une courbe C d’un espace fictif à trois dimen- 
sions, dont les coordonnées rectangulaires seront x, =t, æ,—x, £, = 
Au mouvement d’une partie limitée du milieu correspondent æ? courbes C, 
remplissant un tube (T) : soit (A) laire que ce tube découpe dans une 
surface x, = S(x,, æ). Posant ©, = u w., O = v®,, j'introduis l'intégrale 
de surface. ; 
(1) p=f f 2 ; Q = o dr, dt; + w dzi dx, + w: dx, dx. 
Pour l’une quelconque des transformations infinitésimales Of, dont les 
ps sont les courbes C, on trouve 
On en conclut que, pour que u soit un invariant intégral du mouvement, il 
faut et il suffit que l'équation de continuité soit vérifiée, c’est-à-dire il faut 
et il suffit que la masse se conserve. Dans ce cas la valeur de y ne dépend que 
du tube T; et, en prenant pour la surface sécante un plan x, = const., on 
reconnaît que est la masse de la partie du milieu considérée. 
Soit, d'autre part, (A') la projection de (A) sur le plan xOy. On peut 
écrire 
; p =f f (np) der: 
d’où i atesprétáton suivante, indépendante de l'hypothèse de la conser- 
vation de la masse : l'intégrale (1) représente la somme des masses des parti- 
cules de la partie du milieu E ERAI chacune de ces particules intervenant 
avec un masse m m ossêéde à un instant an A que { — TAT Im 
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CR, 198, 2° Semestre. (T. 167, N° 27.) B 
